Kesikli Dağılımlar – İstatistik Alanları- İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik – İstatistik Yaptırma
Devam Etme
Kernel Equating’in ayırt edici bir özelliği, temel denklemleri (1.11) çözmek veya G’deki ters fonksiyonu hesaplamak için T üzerindeki X ve Y adım fonksiyon cdf’lerini yaklaşık sürekli cdf’lere dönüştürme ihtiyacının açık bir şekilde dikkate alınmasıdır. −1 (F (x)). Eş merkezli eşitlemeye yönelik geleneksel “yüzdelik sıra” yaklaşımı, bunu bir doğrusal enterpolasyon sorunu olarak ele alır, ancak KE’de bunu eşitleme sürecinde açık bir adım olarak tanımlarız.
(2.2) ‘deki X ve Y için puan dağılımlarının kümülatif dağılım fonksiyonları (cdf’ler) olarak tanımlanır.
X’in ayrık bir dağılımı olduğundan, F (x) ‘in grafiği her x ∈ [xj, xj + 1) için düzdür ve xj’de rj boyutunda bir sıçramaya sahiptir. Benzer şekilde, G (y) ‘nin grafiği düzdür (yk, yk + 1) ve hasajumpofsizesk atyk.F (x) ve G (y)’ nin sadece nadiren üstlendiği ayrık değerler kümesinin pratikte ortaya çıkan olaylar.
Bu, pratikte (0, 1) ‘de aynı u değeri için F (x) = u ve G (y) = u’nun asla gerçekleşmediği anlamına gelir. Bu soruna Bölüm 1.4’te daha önce değinilmiştir. F (x) ve G (y) sürekli ise ve tüm x ve y ∈ IR için kesin olarak artıyorsa, bu sorun ortaya çıkmaz ve F (x) = u = G (y) her zaman çözülebilir.
y = G − 1 (F (x)), (4.3) burada G − 1 G’nin tersini ifade eder: y = G − 1 (u) ancak ve ancak u = G (y).
KE dahil olmak üzere tüm eşit merkezli-tip eşitleme yöntemleri, bu ayrılık sorununu ele almalıdır. Bu bölümde önce F ve G’yi devam ettirmek için kullanılan formülleri veriyoruz ve sonra bu yaklaşım için motive edici bir tartışma sunuyoruz.
Kesikli Olasılık Dağılımları Ders Notları
Poisson Dağılımı
Binom dağılımı Özellikleri
Sürekli olasılık DAĞILIMLARI
Bernoulli dağılımı
Kesikli ve sürekli olasılık DAĞILIMLARI
Hipergeometrik dağılım
Binom Dağılımı örnek
Kesikli Dağılımların Gauss Kernel Yumuşatma
Φ (z), standart Normal (ortalama sıfır, varyans bir) veya Gauss dağılımının cdf’ini göstersin ve hX pozitif bir sayı olsun. μX ve σX2 sırasıyla X’in T’ye göre ortalama ve varyansını gösterir.
AX’i tanımlayın ve sabiti, hX, FhX’in “bant genişliği” dir. FhX (x) ‘in herhangi bir hX> 0 için sürekli bir cdf olduğu açıktır, çünkü Normal cdf’lerin ağırlıklı ortalamasıdır ve x’de FhX (x)’ i farklılaştırarak bulunan bir yoğunluk işlevi, fhX (x) vardır.
Formüller (4.5), (4.6) ve (4.7) ilk bakışta biraz tuhaf görünse de, bilgisayar kullanılarak yapılan hesaplamalar için makul şekilde izlenebilirler. Benzer şekilde G, olarak tanımlanan GhY kullanılarak devam ettirilebilir.
Daha sonra, FhX (x) ve GhY (y) ‘nin bu tanımlarını motive edeceğiz ve sırasıyla F ve G’yi “yaklaşık” aldıkları bazı duyuları göstereceğiz. Bu çalışmada, tüm IR üzerinde pozitif olan bir yoğunluk fonksiyonuna (Lebesgue ölçümüne göre) sahip olanı ifade etmek için “sürekli dağılım” terimini saklı tutuyoruz.
Tekrar eden bir örnek, σ2> 0 olan herhangi bir Normal dağılım N (μ, σ2) ‘dir. X, ayrı bir rastgele değişkense, V, X’ten bağımsızdır ve Normal N (0, 1) dağılımına sahipse, X + hX V bir ap – hX küçük olduğunda X’e yaklaşan X’e yakınlık. Bununla birlikte, V sürekli bir dağılıma sahip olduğundan, X + hX V’nin de sürekli olarak dağıtıldığı sezgisel olarak açıktır.
X + hX V’nin neden sürekli bir dağılıma sahip olduğu daha net bir argüman, aşağıdaki Teorem 4.1’in ispatından anlaşılmaktadır. Yeni rastgele değişken X + hX V, X ile aynı ortalamaya veya beklenen değere sahiptir çünkü V, 0 ortalamasına sahiptir, bu nedenle herhangi bir hX için bu anlamda X’e “yaklaşır” (aynı ortalama). Bununla birlikte, Var (X + hXV) = σX2 + h2X> σX2, böylece X + hXV herhangi bir hX> 0 için X ile aynı varyansa sahip olmaz. X + hX V’yi doğrusal olarak dönüştürmek kolaydır, böylece hem ortalama hem de X’e dönüştürülmüş yaklaşımın varyansı, herhangi bir hX için X için olanlarla aynıdır.
Bu dönüşüm şöyledir;
X (hX) = aX (X + hXV) + (1 − aX) μX,
aX, (4.4) ‘te tanımlanmıştır. Okuyucu için herhangi bir hX> 0 için E (X (hX)) = E (X) ve Var (X (hX)) = Var (X) olduğunu göstermesi yararlı bir alıştırmadır. Benzer şekilde, rastgele değişkeni, Y (hY);
Y (hY) = aY (Y + hYW) + (1 − aY) μY, (4.12)
W, Y’den bağımsızdır ve N (0, 1) dağılımına sahiptir. Y (hY), X (hX) ‘in X’e yaklaştığı şekilde Y’ye bir yaklaşımdır. (4.12)’ de aY, μY ve σY kullanılarak (4.4) ‘teki aX’e benzer şekilde tanımlanır. Bant genişlikleri, hX veya hY, bazı yararlı amaca ulaşmak için seçmekte özgür olduğumuz pozitif sabitlerdir.
X (hX) ‘in davranışını hX → 0 ve hX → ∞ olarak özetlemek için Teorem 4.1’i kullanıyoruz. HX (0, ∞) üzerinde değiştiğinden, X (hX) X’ten N (μX, σX2) dağılımına kadar değişir, böylece büyük hX için X (hX) X’e “Normal yaklaşımdır”.
Teorem 4.1. Yukarıdaki gösterim göz önüne alındığında, aşağıdaki ifadeler geçerlidir:
lim aX = 1, hX → 0
lim aX = 0, hX → ∞
lim hXaX = σX, hX → ∞
lim X (hX) = X, hX → 0
lim X (hX) = σXV + μX. hX → ∞
HX> 0 olduğunda, X (hX), ile gösterdiğimiz bir cdf ile sürekli bir dağılıma sahiptir.
FhX (x) = Prob {X (hX) ≤ x}. (4.18) {FhX (x), hX> 0}
Ayrık cdf F (x) ‘e sürekli yaklaşımlar ailesi olarak. Aşağıdaki Teorem 4.2, X (hX) ‘in cdf’sinin (4.5) ve (4.6)’ da daha önce verilen F’nin tam olarak sürekli versiyonu olduğunu gösterir. Teoremin kanıtı basit ama öğretici olduğu için onu dahil ediyoruz.
Teorem 4.2’nin notasyonunu kullanarak, (4.6) ‘da tanımlanan RjX (x), hX çok küçük veya çok büyük olduğunda aşağıdaki yaklaşık formlara sahiptir.
(A) ‘da kalan terim, o (hX), hX’e kıyasla hX → 0 olarak küçüktür ve (b)’ de kalan terim, o (σX / hX), hX → ∞ olarak σX / hX’e kıyasla küçüktür. .
