Bazı Olasılık Fonksiyonları – Epidemiyolojide Biyoistatistiksel Yöntemler – Biyoistatistikler – Epidemiyoloji – Biyoistatistikler Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
Şimdi, giriş olasılık teorisinin temel tanımlarından ve sonuçlarından birkaçını ana hatlarıyla belirleyeceğiz. Basitlik için, sürekli durum için eşdeğer ifadelerin yapılabileceğini akılda tutarak, ayrık rastgele değişkenlere odaklanıyoruz. Bir olasılık fonksiyonunun tanımlayıcı özelliklerinden biri özdeşliktir.
- P (X = x) = 1 (1,1) x
Burada ve sonrasında, X’in örnek uzayındaki tüm elemanların toplamı vardır. Sonra, kitap boyunca tekrar tekrar atıfta bulunulacak iki temel nicelik tanımlarız. Bazen X’in beklenen değeri olarak adlandırılan X’in ortalaması olarak tanımlanır.
Ortalama ve varyans mevcut olduğunda, bunların rasgele değişkenler değil, sabitler olduklarını unutmamak önemlidir. Çoğu uygulamada ortalama ve varyans bilinmemektedir ve çalışma verilerinden tahmin edilmelidir. Aşağıda, rastgele bir değişkenin ortalamasına veya varyansına atıfta bulunduğumuzda, bu miktarların var olduğu, yani sonlu sabitler olduğu varsayılmaktadır.
Örnek 1.1 Tablo 1.1’de verilen olasılık fonksiyonunu düşünün. Anlaşılan (1.1) memnun. X’in örnek uzayı {0, 1, 2} ve X’in ortalaması ve varyansı;
- E (X) = (0 × .20) + (1 × .50) + (2 × .30) = 1.1 ve
- (X) = [(0 – 1.1) 2.20] + [(1 – 1.1) 2.50] + [(2 – 1.1) 2.30] = .49.
Dönüşümler, mevcut bir rastgele değişkenden yeni rastgele değişkenler türetmek için kullanılabilir. Yine, böyle bir ifade ile kastedilenin, mevcut bir olasılık fonksiyonundan yeni olasılık fonksiyonları türetebileceğimizi vurguluyoruz. Eldeki olasılık fonksiyonu bilinen bir formüle sahip olduğunda, teoride, dönüştürülmüş olasılık fonksiyonu için açık bir formül yazmak mümkündür.
Pratikte bu, rastgele değişken gösterimine güvenmenin nedenlerinden biri olan çok karmaşık bir ifadeye yol açabilir. Örnek 1.2 Örnek 1.1’deki gibi X ile, rastgele değişken Y = 2X + 5’i düşünün. Y’nin örnek uzayı, X’in örnek uzayına dönüşüm uygulanarak elde edilir, bu da {5,7,9} verir. P (Y = x) değerleri şu şekilde türetilir: P (Y = 7) = P (2X + 5 = 7) = P (X = 1) = .50. Y’nin olasılık fonksiyonu Tablo 1.2’de verilmiştir.
Y’nin ortalaması ve varyansı;
- E (Y) = (5 × .20) + (7 × .50) + (9 × .30) = 7.2 ve
- (Y) = [(5 – 7,2) 2,20] + [(7 – 7,2) 2,50] + [(9 – 7,2) 2,30] = 1,96.
Örnek 1.1 ve 1.2’yi karşılaştırırken, X ve Y’nin aynı olasılık değerlerine, ancak farklı örnek uzaylarına sahip olduğuna dikkat edin.
Tek sonucu β olan, yani örnek uzay {space} olan rastgele bir değişkeni düşünün. Rasgele değişkenin ortalama ve varyansının sırasıyla β ve 0 olduğu (1.2) ve (1.3) ‘den hemen gelir. Rastgele değişkeni β sabitiyle tanımlayarak ve gösterimin biraz kötüye kullanılmasına izin vererek, E (β) = β ve var (β) = 0 yazabiliriz. X rastgele bir değişken olsun, α ve β keyfi sabitler olsun ve α X + β rastgele değişkenini düşünün. (1.2) ve (1.3) kullanılarak gösterilebilir;
- E (αX + β) = αE (X) + β
- var (αX + β) = α2 var (X). (1.5)
Bu sonuçları Örnekler 1.1 ve 1.2’ye uyguladığımızda, daha önce olduğu gibi,
- E (Y) = 2 (1,1) + 5 = 7,2 ve var (Y) = 4 (0,49) = 1,96.
Örnek 1.3 X, ortalama μ ve varyansı σ2 olan rastgele bir değişken olsun, burada σ> 0 ve rastgele değişkeni (X – μ) / σ düşünün. (1.4) ve (1.5) ‘de α = 1 / σ ve β = −μ / σ ile bunu izler.
Birçok uygulamada, ilgili birkaç rastgele değişkeni dikkate almak gerekir. Örneğin, bir sağlık araştırmasında yaş, kilo ve kan basıncıyla ilgilenebiliriz. İki veya daha fazla rastgele değişkeni aynı anda karakterize eden bir olasılık işlevi, ortak olasılık işlevi olarak adlandırılır.
Olasılık kütle fonksiyonu örnekleri
Olasılık yoğunluk fonksiyonu sorulari
Sürekli olasılık dağılım fonksiyonu örnekleri
Olasılık dağılım fonksiyonu Nedir
Dağılım fonksiyonu
Sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu
Bileşik olasılık fonksiyonu
Olasılık yoğunluk fonksiyonu BEKLENEN değer
Basit olması için iki ayrı rastgele değişken, X ve Y durumunu tartışıyoruz. Rastgele değişken çiftinin (X, Y) ortak olasılık fonksiyonu P (X = x, Y = y) ile belirtilir. Mevcut tartışma, ortak olasılık fonksiyonunun örnek uzayının çiftler kümesi olduğunu varsayıyoruz {(x, y)}, burada x, X’in örnek uzayındadır ve y, Y’nin örnek uzayındadır. (1.1) ‘e benzer.
- P (X = x, Y = y) = 1
tatmin edilmelidir. X ve Y’nin ortak dağılımında, iki rastgele değişken bir birim olarak kabul edilir. X’in dağılımını izole etmek için, X’in marjinal olasılık fonksiyonu olarak adlandırılan şeyi elde etmek için Y’yi “toplarız”.
Benzer şekilde, Y’nin marjinal olasılık fonksiyonu;
- P (X = x, Y = y) olur.
Bir ortak olasılık fonksiyonundan, marjinal olasılık fonksiyonlarını elde edebiliriz, ancak süreç ille de tersine işlemeyebilir. P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) ise, yani ortak olasılık fonksiyonu marjinal olasılığın ürünü ise X ve Y’nin bağımsız rastgele değişkenler olduğunu söylüyoruz. fonksiyonlar. Bağımsızlık durumu dışında, bu şekilde bir ortak olasılık fonksiyonunu yeniden inşa etmek genellikle mümkün değildir.
Örnek 1.4 Tablo 1.3, bir ortak olasılık fonksiyonu ve ilişkili marjinal olasılık fonksiyonlarının bir örneğidir. Örneğin, P (X = 1, Y = 3) = 0,30. X’in marjinal olasılık fonksiyonu Y üzerinden toplanarak elde edilir, örneğin,
- P (X = 1) = P (X = 1, Y = 1) + P (X = 1, Y = 2) + P (X = 1, Y = 3) = .50.
X ve Y’nin bağımsız olduğu kolaylıkla doğrulanır, örneğin,
- P (X = 1, Y = 2) = .15 = P (X = 1) P (Y = 2).
Şimdi, X ve Y’nin marjinal olasılık fonksiyonlarının Tablo 1.3’tekiyle aynı olduğu, ancak kolayca doğrulanabileceği gibi, X ve Y’nin bağımsız olmadığı Tablo 1.4’ü düşünün.
Şimdi (1.4) ve (1.5) genellemelerini sunuyoruz. X1, X2, olsun. . . , Xn rastgele rastgele değişkenler olsun, α1, α2, olsun. . . , αn, β keyfi sabitler olsun ve rastgele değişken αX + β. i = 1 i olduğu gösterilebilir.
- var (X1 + X2) = var (X1 – X2) = var (X1) + var (X2). (1.9)
X1, X2,. . . , Xn bağımsızdır ve hepsi aynı dağılıma sahiptir, Xi’nin bu dağılımdan bir örnek olduğunu ve örneklem büyüklüğünün n olduğunu söylüyoruz. Aksi belirtilmedikçe, tüm numunelerin basit rastgele numuneler olduğu varsayılacaktır (Bölüm 1.3). Dağılım belirtilmemiş halde bırakılarak, Xi’nin ortalamasını ve varyansını sırasıyla μ ve σ2 ile belirtin. Örnek ortalama şu şekilde tanımlanır:
(1.7) ve (1.8) ‘de αi = 1 / n ve β = 0 olarak ayarlanır.
Bazı Olasılık Fonksiyonları
Şimdi, bu çalışmada önemli olacak bazı temel olasılık fonksiyonlarını ele alacağız.
Normal (Gauss)
Merkezi Limit Teorisini tartıştıktan sonra netleşecek nedenlerle en önemli dağılım şüphesiz normal dağılımdır. Normal olasılık işlevi, örnek uzayının tüm sayılar olduğu ve exp’nin, e tabanına üslü olduğu anlamına gelir. Karşılık gelen normal rastgele değişkeni Z ile gösteriyoruz. Normal bir dağılım tamamen μ ve σ> 0 parametreleri ile karakterize edilir. Z’nin ortalama ve varyansının sırasıyla μ ve σ2 olduğu gösterilebilir.
Bileşik olasılık fonksiyonu Dağılım fonksiyonu Olasılık dağılım fonksiyonu Nedir Olasılık kütle fonksiyonu örnekleri Olasılık yoğunluk fonksiyonu BEKLENEN değer Olasılık yoğunluk fonksiyonu sorulari Sürekli olasılık dağılım fonksiyonu örnekleri Sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu