Çok Değişkenli Aşırı İndeks – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik

Çok Değişkenli Aşırı İndeks

D ′ (un) koşulu altında, Mn’nin asimptotik dağılımının bağımsız bir sekans durumunda olduğu gibi aynı olduğunu hatırlayın. Bunun nedeni, D ′ (un) koşulunun aşırı uçların yerel kümelenmesini engellemesidir, böylece geçici bağımlılık yüksek düzeylerde ihmal edilebilir hale gelir.

Bununla birlikte, bu kadar yüksek düzeylerde yerel bağımlılığa da izin verirsek, işler farklılaşır. Tek değişkenli durumda, yerel bağımlılığın etkisi tek bir sayı ile özetlenirken, aşırı indeks, çok değişkenli ayar daha zordur: aşırı indeksin analoğu bir işlev olarak ortaya çıkar.

Tekrar {Xn}, F dağılım fonksiyonu ile Rd’de rastgele vektörlerin durağan bir dizisi olsun. Bir> 0 ve bn vektörleri olduğunu ve d-değişken uç değer dağılımları G ve G ̃ olduğunu varsayalım öyle ki

• P [bir − 1 (Mn − bn) ≤x] → D G (x), n
• Fn (anx + bn) → D G ̃ (x),

n → ∞ olarak. Ayrıca j inci marjinal serisinin {Xn, j} n uç endeksi 0 <θj ≤ 1 olduğunu, böylece G ve G ̃ kenar boşluklarının J için Gj (x) = {G ̃j (x)} θj ile ilişkili olduğunu varsayalım. = 1,. . . , d. Θj’nin aynı olması gerekmez, bu da G ve G ̃ arasındaki bağlantının tek değişkenli duruma göre daha karmaşık olabileceğini gösterir. Ayrıca, G ve G ̃’nin kararlı kuyruk bağımlılık fonksiyonları l ve l’ye de ihtiyacımız olacak.

• G (x) = exp [−l {- log G1 (x1),. . . , – Gd (xd)}],
• G ̃ (x) = exp [−l ̃ {−logG ̃1 (x1), …, – logG ̃d (xd)}],

Tanım

Çok değişkenli uç indeksi tanımlamak için, kenar boşluklarının soyutlamasını yapmak uygundur. v∈ [0, ∞) \ {0}, lx = x (v) 

• = −logG ̃j (xj) = −θ − 1logGj (xj) j = 1, …, d için.

Vj = 0 olması durumunda, xj = sup {x∈R: j G ̃j (x) <1} olarak ayarlanır.

Xn = xn (v), Rd’de xn → x, n → ∞ olacak şekilde bir dizi olsun ve un = anxn + bn olsun. Açıkça şimdi {Xn} dizisinin uç indeks fonksiyonunu veya kısaca uç indeksi tanımlarız.

Bu, tek değişkenli durumda tanımın doğrudan bir uzantısıdır (Teorem 10.4). Kararlı kuyruk bağımlılığı fonksiyonları açısından ele alınır.

Çok Değişkenli analiz ders notları
Çok değişkenli istatistiksel Analiz nedir
Çok değişkenli Analiz
Çok değişkenli veri nedir
Çok değişkenli Analiz Nedir
Çok değişkenli istatistiksel analizlerin kullanım amaçları
Çok değişkenli analiz ders notları
Çok değişkenli istatistiksel Analiz yöntemleri

Özellikleri

Çok değişkenli aşırı indeks, bir dizi özelliği karşılamaktadır.

• (i) θ (v), v’deki sürekli bir fonksiyondur.
• (ii) θ (cv) = θ (v) for0 <c <∞ve∈ [0, ∞) \ {0}.
• (iii) j = 1, …, d için θ (ej) = θj olur, burada ej j’inci birim vektördür.
• (iv) 0≤θ (·) -1.

Özellikler (i – iii), (10.65) ‘in anlık sonuçları ve kararlı kuyruk bağımlılık fonksiyonlarının özellikleridir. (İv) ‘i ispatlamak için, önce x = x (v) ve un = anxn + bn ile yukarıdaki gibi gözlemleyin,

• P [Mn ≤un] = 1 − P [Mn ̸≤un] ≥1 − n {1 − F (un)}

Böylece

• G (x) = lim P [Mn ≤un] ≥ lim [1 − n {1 − F (un)}] = 1 + logG ̃ (x), n → ∞ n → ∞

ve böylece exp {−l (θ1v1,…, θd vd)} ≥ 1 – l ̃ (v). Bu eşitsizlik ve mülkiyet (ii) nereden (iv) anlamına gelir.

Özellik (iii), çok değişkenli aşırı endeksin tek değişkenli bir karakterizasyonuna genişletilebilir (Smith ve Weissman 1996). Rastgele değişkenleri düşünün.

Fj’nin kuantil fonksiyonunu Fj ← (p) = inf {x ∈ R: Fj (x) ≥ p} (0 <p <1) ile ifade ederek, basitlik için Fj’nin (10.63) ile sürekli olduğunu varsayarak elde ederiz. Benzer şekilde, {P [Y1 (v) ≤ n]} n → G ̃ (x) olarak n → ∞. Dolayısıyla (v) θ (v), {Yn (v)} dizisinin (tek değişkenli) uç indeksidir.

Son olarak, çok değişkenli aşırı endeksin tek değişkenli olanla benzer yorumları kabul ettiğinden söz ediyoruz. Örneğin, D {un (v)} koşulu altında ve uygun tamsayılar için rn = o (n) θ (v) = lim θnB (v) = lim θnR (v) var.

Argümanlar tek değişkenli duruma mükemmel bir şekilde benzemektedir ve ihmal edilmiştir. Aslında, çok değişkenli aşırı endeks, aşırı düzeylerdeki zamansal bağımlılığı özetler, ancak bağımlılığın gücü yöne göre değişebilir.

Örnek 10.24 Zi, i ∈ Z bağımsız, standart Fre -chet rasgele değişkenler olsun. Ayrıca, αjk, j = 1, …, d ve k = 0,1,2, … öyle negatif olmayan sabitler olsun. j = 1, …, d için αjk = 1. Çok değişkenli hareketli maksimum süreç {Xn} Xn, j = maxαjkZn − k, j = 1, …, d ile tanımlanır.

Xn’nin marjlarının standart Fre ́chet olduğunu gözlemleyin ve Örnek 10.5’ten marjinal uç indekslerin θj = maxk≥0 ajk olduğunu hatırlayın. F, Xn’nin dağılım fonksiyonu olsun. V ∈ [0, ∞) \ {0} için, tek değişkenli duruma benzer şekilde, v ∈ [0, ∞) \ {0} için, {Xn} ‘nin çok değişkenli aşırı endeksinin olduğu sonucuna vardık.

Tahmin

Çok değişkenli aşırı endeks nasıl tahmin edilir? Tek değişkenli uç indeksin bloklarının, hareketlerinin ve aralık tahmin edicilerinin tümünün gösterge değişkenleri 1 (Xk ≤ u) cinsinden yazılabileceğini gözleyin. Çok değişkenli durumda, o zaman, bir eşik vektörü seçebiliriz, u, vˆ’yi hesaplayabiliriz, burada vˆj = 􏰮ni = 1 1 (Xi, j> uj), vj = nP [X1, j> uj] tahmin eder ve bloklar oluştururuz, Gösterge değişkenleri 1 (Xi ≤ u), i = 1’den θ (vˆ) ‘nin koşar veya aralık tahmin edicileri. . . , n. İlgili bir yöntem, ilk önce bilinmeyen Fj tahminlerini (10.66) ‘ya takarak ve ardından bu dizinin (sıradan) uç indeksini tahmin ederek Yˆi (v) (i = 1,., N)’ yi hesaplamak olacaktır.

Ne yazık ki, bir sayıdan ziyade bir işlevi tahmin etmek belirgin şekilde daha zordur: her v için eşiklerin seçilmesi gerekir ve noktasal tahminlerin θˆ (v) mutlaka (i ila iv) karşılaması gerekmez. Bildiğimiz kadarıyla, Pickands bağımlılık fonksiyonuna dayanan daha az doğrudan bir yöntemin önerildiği Smith ve Weissman’ın (1996) bir makalesi dışında, çok değişkenli aşırı indeksin tahminine ilişkin henüz bir literatür yoktur.

Çok değişkenli uç indeks Nandagopalan’da (1994) önerilmiştir. Aynı makale, bazı nokta-süreç sonuçlarının çok değişkenli uzantılarını da Bölüm 10.3’ün özüne göre tartışmaktadır.