ÇOK DEĞİŞKENLİ EKSTREMLERİN İSTATİSTİKLERİ – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
ÇOK DEĞİŞKENLİ EKSTREMLERİN İSTATİSTİKLERİ
Bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rasgele vektörler tarafından oluşturulduğu varsayılan çok değişkenli gözlemlerden oluşan bir örnek verildiğinde, temeldeki çok değişkenli dağılımın kuyruğu nasıl tahmin edilir? Özellikle, gözlemlerin hiçbirinin olmadığı veya çok azının olduğu örnek uzayının bir bölgesindeki bir olayın olasılığını göreceli bir doğrulukla nasıl tahmin edebilirim?
Tek değişkenli aşırılıkların istatistiklerine gelince, bu, örneklem bölgesi dışında tahmin yürütmenin gerekçelendirildiği genel olarak uygulanabilir modelleri gerektirir. İlgi, birkaç koordinatta eklem aşırılıklarının ortaya çıkmasıyla ilgiliyse, marjinal dağılımların uygun modellemesi, aşırı seviyelerde bağımlılık yapısının doğru bir değerlendirmesiyle tamamlanmalıdır.
Başarılı bir modeller ve çıkarım teknikleri sınıfı, Bölüm 8’de kapsamlı bir şekilde incelenen çok değişkenli uç değer dağılımlarına dayanmaktadır. Bu dağılımların lehine olan argüman, tek değişkenli durumda olduğu gibi, kuyruğun kuyruğu olan özellik ile özetlenmiştir. Ekstrem bir değer dağılımının çekim alanındaki bir dağılım, bu uç değer dağılımının kendisinin kuyruğu ile yaklaşık olarak tahmin edilebilir.
Çok değişkenli uç değer dağılımları sınıfı, sonlu boyutlu bir parametrizasyonu kabul etmediğinden, oldukça popüler bir yaklaşım, iyi seçilmiş bir parametrik alt model içinde çıkarım yapmaktır. Analitik izlenebilirlik ile pratik uygulanabilirliği birleştirmede özellikle başarılı olduğu çeşitli vaka incelemelerinde bu tür birkaç model gösterilmiştir. Elbette, yeni durumlar yeni modeller isteyebilir, bu nedenle çok değişkenli aşırı değer dağılımlarının parametrik ailelerini oluşturmak için araçlara sahip olmak yararlıdır. Bütün bunlar bölüm 9.2’de ele alınmaktadır.
İstatistikte sınıf aralığı hesaplama
Sınıf orta değeri nedir
Egemen değer nedir istatistik
Kritik değer hesaplama
Gözlem değeri nedir
Çarpımlar toplamı istatistik
Egemen değer Nedir
İstatistik sembolleri
Tek değişkenli duruma gelince, tarihsel olarak çok değişkenli aşırılıklar için ilk istatistiksel yöntemler yıllık maksimum yaklaşımı izler (Gumbel ve Goldstein 1964). Yaklaşım, çok değişkenli gözlemlerin bir örneğini bloklara ayırmaktan oluşur, her biri tipik olarak bir yıllık gözlemlere karşılık gelir ve bileşen bazlı blok maksimumları örneğine çok değişkenli bir uç değer dağılımı uydurur. Buradaki can alıcı nokta, çok değişkenli aşırı değer bağımlılık yapısını veya bağıntıyı tahmin etmektir. Bölüm 9.3, bunu yapmak için hem parametrik hem de parametrik olmayan teknikleri açıklar.
Örneklemin yılda tek bir gözleme indirgenmesi, belirli bir yılın birkaç ilgili olaya tanık olma olasılığını göz ardı eder. Daha verimli, bir anlamda büyük olan tüm verileri, örneğin koordinata göre farklılık gösterebilen en az bir koordinatın yüksek bir eşiği aştığı tüm gözlemleri kullanmaktır.
Bölüm 8.3’teki çekim alanı koşullarının motive ettiği modelleme varsayımı, temeldeki dağılımın bağımlılık yapısının aşırı düzeylerde maksimum kararlı bir bağımlılık yapısı ile yaklaşık olarak tahmin edilebileceğidir. Yine, seçim, bir alt sınıf içindeki parametrik çıkarım veya çoğu çok değişkenli bir uç değer dağılımının spektral ayrıştırılmasıyla motive edilen genel parametrik olmayan teknikler arasındadır.
Hem yıllık maksimum yaklaşım hem de eşik yaklaşımı, Bölüm 8’deki teori tarafından motive edilen çok değişkenli uç değer dağılımları paradigmasında kurulmuştur. Sonuçta ortaya çıkan modeller bu nedenle ya mükemmel bağımsızlık ya da asimptotik bağımlılıkla sınırlıdır.
Bunların hiçbiri, örneğin pozitif veya negatif korelasyonlu iki değişkenli normal gibi sondan bir önceki eşiklerde pozitif veya negatif ilişki ile asimptotik bağımsızlık durumları için tatmin edici olmayabilir. Bu, asimptotik bağımsızlık durumunda rastgele bir vektörün birleşik hayatta kalan işlevi için daha rafine modeller gerektirir ve bunlar bölüm 9.5’te sunulmuştur. Bölüm 9.6’da bir dizi ek konu ve bölüm 9.7’de bir özetle sonlandırıyoruz.
Kayıp-ALAE Verileri
Bir sigorta kurulumundaki 1500 sorumluluk talebini içeren Loss-ALAE veri seti hakkındaki bu bölümde yöntemleri göstereceğiz, bkz. Bölüm 1.3.3’teki Şekil 1.15. Her bir talep, bir zarar veya tazminat ödemesinden ve Tahsis Edilmiş Hasar Düzeltme Giderinden oluşur. ALAE’ler, sigorta şirketi için, avukat ücretleri ve bireysel tazminat ödemelerinden kaynaklanan soruşturma giderleri gibi ek maliyetler olarak görülebilir. Şekil 9.1 (a) ‘daki iki değişkenin dağılım grafiği, korelasyon katsayısının değeri 0.4 ile teyit edildiği üzere, orta seviyelerde kayıplar ve diğer giderler arasında güçlü bir ilişki olduğunu göstermektedir.
(Loss, ALAE) gözlemlerinden başlayarak (xi1, xi2), i = 1,. . . n, veriyi (değiştirilmiş) ampirik marjinal dağılım kullanarak tek biçimli (0, 1) marjinal dağılımlara dönüştürerek gayri resmi, marjsız bir bağımlılık resmi elde edebiliriz.
(Xi1, xi2) ‘yi ortak dağılım fonksiyonu F olan bağımsız rasgele değişkenlerin gerçekleşmeleri olarak düşünürsek, (ui1, ui2) F’nin copula, C’den gerçekleşmeleri olarak yorumlanabilir. ( Şekil 9.1 (b) ‘deki ui1, ui2), her ikisinin de yüksek olduğu seviyelerde kayıplar ve ALAE’ler arasında bir miktar bağımlılık olduğunu göstermektedir.
Bu bölümdeki vaka çalışmaları, kısmen, Chris Ferro’nun bazı rutinleri dahil olmak üzere, Alec Stephenson tarafından “evd” R paketi ve Bjo ̈rn Vandewalle tarafından yazılan rutinlerle gerçekleştirildi.
Parametrik Modeller
Bölüm 8.2’den, d-değişken uç değer dağılımları ailesinin, bir dizi moment kısıtlamasını karşılayan birim tek yönlü Sd üzerinde pozitif bir ölçümle indekslendiğini hatırlayın. Özellikle, tek değişkenli durumun aksine, aile sonlu boyutlu bir parametrizasyonu kabul etmez. Sonuç olarak, verimli tahmin, tahmin belirsizliğinin kolay değerlendirilmesi, hipotez testi ve ortak değişken bilgisinin dahil edilmesini garanti eden parametrik olabilirlik makinesinin rahatlığını kaybediyoruz. Bu büyük bir aksiliktir.
Bahsedilen özelliklerin tadını çıkarmaya devam edebilmek için, genel sınıfta çalışmak yerine, parametrik bir alt aile varsayılabilir. Elbette ödenmesi gereken bir bedel var: Genelliği feda etmek, modelin yanlış tanımlanması riskini taşır. O halde model esnekliği ile analitik izlenebilirlik arasında iyi bir denge kurulmalıdır.
Bu, model yapımı ve model seçimi konusunu gündeme getiriyor. Hiçbir modelin her durumda iyi çalışması beklenemez. Yeni veriler, yeni modeller gerektirebilir.
Bununla birlikte, bir bağımlılık yapısının aşırı değer bağımlılığı yapısı olabilmesi için yerine getirmesi gereken kısıtlamalar nedeniyle, yararlı olanları bırakın, geçerli parametrik aileleri oluşturmak kolay değildir. Bölüm 9.2.1’de, çok değişkenli uç değer modelleri oluşturmak için bir dizi araç listeliyoruz. En popüler modellere genel bir bakış bölüm 9.2.2’de verilmiştir.
Çarpımlar toplamı istatistik Egemen değer Nedir Egemen değer nedir istatistik Gözlem değeri nedir İstatistik sembolleri İstatistikte sınıf aralığı hesaplama Kritik değer hesaplama Sınıf orta değeri nedir