Ekstrem Sınır Teoremi – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
Örnek Maksimum
X1, X2, olsun. . . Marjinal dağılım fonksiyonu F olan rastgele değişkenlerin (kesin olarak) durağan bir dizisi olabilir. Varsayım, h ≥ 0 ve n ≥ 1 tamsayısının, rastgele vektörün dağılımının (Xh + 1,.., Xh + n) h’ye bağlı olmadığını gerektirir. Maksimum Mn = maxi = 1, …, n Xi için, normalleştirme sabitleri olan an> 0 ve bn’nin bazı seçenekleri için (Mn – bn) / an’ın sınırlayıcı dağılımını arıyoruz. Bölüm 2’de, bağımsız rasgele değişkenler için, tek olası dejenere olmayan sınırların aşırı değer dağılımları olduğu gösterilmiştir.
Bölüm 10.2.1’de, eğer aşırı seviyelerde uzun menzilli bağımlılık uygun şekilde sınırlandırılmışsa, bunun durağan diziler için geçerli kaldığını göreceğiz. Bununla birlikte, sınır dağılımının, {Xi} ile aynı marjinal dağılıma sahip ilişkili, bağımsız dizinin {X ̃ i} maksimum M ̃n = maxi = 1, …, n X ̃i ile aynı olması gerekmez. . Bu ayrım, bölüm 10.2.3’te sunulan ve kümelerde aşırı değerlerin oluşma eğilimini ölçen aşırı endeksten kaynaklanmaktadır.
Ekstrem Sınır Teoremi
Pozitif tam sayılardan oluşan bir J kümesi için, M (J) = maxi∈J Xi olsun. Kolaylık sağlamak için ayrıca M (∅) = – ∞ ayarlayın. {1, …, n} tam sayılarını Jj = Jj, n ayrık bloklara ayıracağız ve maksimum blok M (Jj) ‘nin asimptotik olarak bağımsız olduğunu göstereceğiz. Mn = maxj M (Jj) olduğundan, Bölüm 2’deki gibi (Mn – bn) / an’ın limit dağılımının, eğer varsa, aşırı bir değer dağılımı olması gerektiği izlenir.
(Rn) n, n → ∞ olarak rn = o (n) olacak şekilde pozitif tamsayılar dizisi olsun ve kn = ⌊n / rn⌋ koyun. Bölüm {1,. . . , n} rn boyutundaki kn bloklar,
- Jj = Jj, n = {(j − 1) rn + 1, …, jrn}, j = 1, …, kn, (10.2)
ve knrn <n durumunda kalan blok, Jkn + 1 = {knrn + 1,. . . , n}. Şimdi, beklenilen aşım sayısının sınırlı kaldığı bir oranda artan olmayan eşikleri tanımlayın: limsupnF ̄ (un) <∞, tabii ki F ̄ = 1 − F. Bunu uygun bir koşulda göreceğiz.
Bu tam olarak Mn’nin bağımsız rasgele değişkenler, Mrn cinsinden istenen temsilidir.
Önemli bir nokta, Jj bloklarının uçlarının yakınında meydana gelen bir aşım olasılığının ihmal edilebilir olması için {Xi> un} olaylarının yeterince nadir olmasıdır. (Sn) n bir pozitif tamsayı dizisi olsun, öyle ki sn = o (rn) n → ∞ ve J ′ = J ′ = {jrn −sn +1, …, jrn} alt blok olsun Jn sonunda sn boyutundadır.
{M (Jj ∗) ≤ un} olayları yaklaşık olarak bağımsızsa, gerektiği gibi elde ederiz.
D (un) koşulu (Leadbetter 1974) olarak bilinen bir karıştırma koşulu, {M (Jj ∗) ≤ un} olaylarının n arttıkça yaklaşık olarak bağımsız hale gelmesi için yeterlidir.
- Ij, k (un) = {M (I) ≤ un}: I ⊆ {j, …, k}
{Xi ≤ un}, j ≤ i ≤ k olaylarının tüm kesişimlerinin kümesi elde ederiz.
Koşul 10.1 D (un). Tüm A1 ∈ I1, l (un), A2 ∈ Il + s, n (un) ve 1 ≤ l ≤ n – s, | P (A1 ∩A2) −P (A1) P (A2) | ≤α ( n, s) ve a (n, sn) → 0, sn = o (n) olacak şekilde bazı pozitif tamsayı dizisi sn için n → ∞ olarak kullanılır.
D (un) koşulu, indeks Ii ⊂ {1, kümeleri olduğunda n arttıkça {M (I1) ≤ un} ve {M (I2) ≤ un} şeklindeki herhangi iki olayın yaklaşık olarak bağımsız olabileceğini söyler. . . n}, nispeten kısa bir mesafe sn = o (n) ile ayrılır. Bu nedenle, D (un) koşulu, bu tür olaylar arasındaki uzun menzilli bağımlılığı sınırlar. Şimdi olay olursa A1,. . . , Ak ∈ I1, n (un) öyledir ki, karşılık gelen indeks kümeleri birbirinden bir s mesafesi ile ayrılır, sonra, k üzerinde indüksiyonla elde edilir.
n → ∞ olarak. Bazı sn = o (n) için α (n, sn) → 0 olduğunda, sn = o (rn) ve knα (n, sn) → 0 olacak şekilde rn = o (n) bulmak gerçekten mümkündür; örneğin, rn [nmax {sn, nα (n, sn)}] 1 / 2’nin tamsayı kısmı olsun. Birlikte aşağıdaki temel sonucu elde ederiz.
Teorem 10.2 (Leadbetter 1974) {Xn}, an> 0 ve bn sabitleri ve dejenere olmayan dağıtım fonksiyonu G olan sabit bir dizi olsun ki D (un), G (x)> 0 olacak şekilde her x için un = anx + bn ile tutulursa, G bir uç değer dağılım fonksiyonudur.
D (un) koşulunun, G (x)> 0 olan tüm un = anx + bn dizileri için tutulması gerektiğine dikkat edin. Bu gereksinimin gerekliliği, D (un) ‘un geçerli olduğu Xi ≡ X1 işlemi ile gösterilir. F (un) → 1 olur olmaz, n → ∞ olur.
Bununla birlikte, durum yalnızca {Xi ≤ un} biçimindeki olaylarla ilgili olduğundan zayıftır. Bunu, örneğin Ij, k = σ (Xi: j ≤ i ≤ k), Xj rastgele değişkenleri tarafından oluşturulan σ-cebiri sınıfları için Koşul 10.1’in tutmasını gerektiren güçlü karıştırma (Loynes 1965) ile karşılaştırın. . . , Xk. Gecikmede ρn oto-korelasyonlu Gauss dizileri için, D (un) koşulu, n → ∞ olarak ρn log n → 0 olur olmaz sağlanır
Fonksiyonun eyer noktası
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri
Yerel Maksimum ve yerel minimum örnekleri
Yerel Ekstremum noktaları çözümlü sorular
Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Mutlak maksimum
Eyer noktası İngilizce
Uç noktalarda yerel ekstremum
İki değişkenli Fonksiyonlarda yerel ekstremum
1964). Bu, örneğin, kendiliğinden gerileyen modellerin varsaydığı geometrik bozulmadan çok daha zayıftır.
Aslında, Teorem 10.2, tartışmamızdan da anlaşılacağı üzere D (un) koşulunun daha zayıf versiyonları için bile geçerlidir. Bir örnek (O’Brien 1987), maksima’nın (AIM) asimptotik bağımsızlığıdır;
- Ij, k (un) = {M (I) ≤ un}: I = {i1, …, i2} ⊆ {j, …, k},
Rasgele tam sayı kümeleri yerine tam sayı aralıkları üzerinden blok maksimumları içerir. Bu zayıflama, bir sınıf periyodik Markov zincirini kabul ediyor.
Örnek 10.3
Birinci sıra veya kısaca ARMAX’ın maks-otoregresif süreci, özyineleme ile;
- Xi = maks {αXi − 1, (1 − α) Zi}, i∈Z, (10.4)
burada 0 ≤ α <1 ve burada Zi bağımsız standart Fre ́chet rasgele değişkenlerdir. Özyinelemenin sabit bir çözümü şöyledir;
- Xi = maxαj (1 − α) Zi − j, i∈Z,
İşleminin, girişin hareketli-maksimum işleminin özel bir durumu olduğunu göstererek; özellikle, sürecin marjinal dağılımı standart Frechet’dir. Ayrıca, D (un) koşulunun genel hareketli maksimum süreçler için geçerli olduğu gösterilebilir, bu nedenle Mn / n’nin sınır dağılımının aşırı bir değer dağılımı olmasını bekliyoruz. Aslında, 0 <x <∞ için şunlar yapılır;
- P [Mn ≤x] = P [X1 ≤x, (1 − α) Z2 ≤x, …,
(1 − α) Zn ≤x] = P [X1 ≤ x] {P [(1 – α) Z1 ≤ x]} n − 1
= exp [- {1 + (1 – α) (n – 1)} / x] (10,5)
P [Mn / n ≤ x] → exp {- (1 – α) / x} =: G (x), n → ∞.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Mutlak maksimum Ekstremum noktaları çözümlü sorular Eyer noktası İngilizce Fonksiyonun eyer noktası İki değişkenli Fonksiyonlarda yerel ekstremum Uç noktalarda yerel ekstremum Yerel Yerel Maksimum ve yerel minimum örnekleri