Ekstremal İndeks – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik

Zincirin uçları ve çıkarım yöntemleri için modelimiz, koşullu olarak X1> u üzerinde {(Xi – u) / σ (u)} mi = 1 vektörünün sınırlayıcı dağılımına dayanacaktır, burada m a pozitif tamsayı. Şimdi, (10.34) – (10.35) koşullarını uyguladığımız sürece önemsiz olmayan bir sınırın gerçekten var olduğunu göstereceğiz.

İlk olarak, aşırı değer dağılımı G’ye daha yakından bakıyoruz. Bölüm 8.2’den aşağıdaki gerçekleri hatırlıyoruz. İşlev;

• 0 <zi <∞ (i = 1, 2)

standart Fre ́chet marjları olan iki değişkenli bir uç değer dağılımıdır ve birim aralık [0, 1] üzerinde pozitif bir H ölçüsü vardır, böylece
􏰟

• V ∗ (z1, z2) = – I G ∗ (z1, z2)

H ölçüsü, spektral ölçü olarak adlandırılır ve zorunlu olarak kısıtlamaları karşılar. Basitlik adına, aşağıdaki varsayımı yapıyoruz.

Koşul 10.19 Spektral ölçü H, 0 <w <1 için sürekli yoğunluk fonksiyonu h (w) ile mutlak süreklidir.

Bu durum gerçekten de bir kısıtlama oluşturmaktadır. Örneğin, G’nin sınırlarının bağımsız olmasını yasaklar, bu durumda H, 0 ve 1 üzerinde yoğunlaşır. Örnek 8.1’deki asimetrik lojistik (Tawn 1988a) gibi bazı parametrik modeller de H’nin sıfır olmayan kütleye sahip olmasına izin verir. 0 ve 1’de. Aşağıdaki argümanlar bu durumları da kapsayacak şekilde genişletilebilir.

Koşul 10.19 altında, V ∗ işlevi iki kez türevlenebilirdir ve kısmi türevleri uygun alt simgelerle belirtirsek, denklem (8.36) ile elde ederiz.

• V ∗ 12 (z1, z2) = – (z1 + z2) −3h {z1 / (z1 + z2)} (10.38) 0 <zi <∞
• (i = 1,2) için. (X1, x2) 1 + γxi> 0 (i = 1,2),
• V (x1, x2) = V ∗ (z1, z2), zi = (1 + γxi) 1 / γ (i = 1,2), (10

V fonksiyonu da iki kez türevlenebilir ve koşulları (10.34) – (10.35) yoğunluklara genişleten bir varsayım formüle edebiliriz.

Koşul 10.20 V işlevi iki kez türevlenebilir ve x, x1, x2 için

• 1 + γx> 0and1 + γxi> 0 (i = 1,2) bir su ↑ x ∗ var

Koşul 10.20 altında, X1> u için koşullu olarak {(Xi – u) / σ (u)} mi = 1 vektörünün eklem yoğunluğunun sınırını bulabiliriz. İ = 1, 2 için 1 + γ xi> 0 olacak şekilde x1 ve x2 için,

• σ (u) f {u + σ (u) x2 | u + σ (u) x1}
• = σ2 (u) f {u + σ (u) x1, u + σ (u) x} / F ̄ (u)
• σ (u) f {u + σ (u) x1} / F ̄ (u)
• → – (1 + γ x1) 1 / γ + 1V12 (x1, x2), u

Dolayısıyla (10.33) ile, {(Xi – u) / σ (u)} mi = 1’in eklem yoğunluğu (x1, …, xm) içinde X1> u için koşullu olarak x1> 0 ve 1 + γxi> 0 i = 1 için, …, m σm (u) f {u + σ (u) x1, …, u + σ (u) xm} / F ̄ (u) ‘yu sağlar.

Şimdi T standart bir Pareto rastgele değişken olsun, P [T> t] = 1 / t, 1 ≤ t <∞ için ve {Ai} i ≥1 bağımsız, pozitif rastgele değişkenler, T’den bağımsız ve ortak marjinal dağıtım verir.

Ekstrem durum ne demek
Extrem bir durum Ne Demek
Ekstrem ne demek TDK
Ekstrem cümle içinde kullanımı
Ekstrem ne demek Coğrafya
Extrem Ne Demek
Marjinal Ne Demek
Extreme Ne Demek

Rastgele değişken Y1, şekil parametresi γ olan bir GP dağılımına sahiptir. 1 + γxi> 0 (i = n − 1, n) gibi n ≥ 2 ve (xn − 1, xn) için Yn’nin yoğunluğu koşullu olarak Yn − 1 = xn − 1’dir, zi = (1 + γxi) 1 / γ , eşittir.

• = (1 + zn / zn − 1) −3h {(1 + zn / zn − 1) −1} z − 1 dzn n − 1 dxn
• = −V ∗ 12 (zn − 1, zn) z2 dzn n − 1 dxn
• = – (1 + γ xn − 1) 1 / γ + 1V12 (x

daha sonra (10.43), (10.42), (10.38) ve (10.39) kullandık. (10.41) ile (10.45) birleştirilerek, tüm pozitif tamsayı m için Koşullar 10.19 ve 10.20 altında elde ederiz.

u ↑ x ∗ olarak. {Yn} sürecine Markov zincirinin {Xn} kuyruk zinciri denir. Yüksek bir X1> u değerinde başlatıldığında ikincisinin davranışını açıklar. Kuyruk zincirinin tamamen uç değer endeksi γ ve A’nın dağılımı tarafından belirlendiğini hatırlayın; X1> u koşuluna bağlı (X1,.., Xm) ‘nin yaklaşık dağılımını bulmak için, ayrıca ölçekleme parametresi σ (u)’ ya ihtiyacımız var. Son olarak, (10.40) ve (10.45) ‘in A’nın dağılımının uygun bir yorumunu verdiğini gözlemleyin.

Örnek 10.21 V ∗ için popüler bir parametrik model lojistik modeldir.
􏰡

• −1 / α −1 / α􏰢α
• V ∗ (z1, z2) = z1 + z2, 0 <zj <∞ (j = 1,2)

0 <α ≤ 1 parametresiyle, bkz. (9.6). Α = 1 durumu bağımsız kenar boşluklarına karşılık gelir, bu durumda spektral ölçü H, birim kütleyi Koşul 10.19’u ihlal ederek 0 ve 1’e koyar. 0 <α <1 ise, doğrudan hesaplama şunu ortaya çıkarır:

• P [A≤a] = – V ∗ 1 (1, a) = (1 + a − 1 / α) – (1 − α), 0 <a <∞.

Ekstra varsayımlar olmadan, Yn’nin limit davranışını n → ∞ olarak bulabiliriz. Önce (10.42) ve (10.37) ile, bir olasılıkla sahip olduğumuzu gözlemleyin. Özellikle, yalnızca sonlu sayıda Yn pozitiftir. Yorum, yüksek bir eşik üzerindeki aşma kümelerinin zorunlu olarak sonlu uzunlukta kalmasıdır.

Daha önce belirtildiği gibi, Koşullar 10.19 ve 10.20 gerçekten gerekli değildir. Doğrudan zincirin geçiş çekirdeği açısından formüle edilen daha genel bir teori Perfekt (1994) tarafından geliştirilmiştir. Bu bölümün ana sonuçları daha genel çerçevede geçerliliğini koruyor: A’nın dağılımının V ∗ cinsinden temsili (10.42), kuyruk zincirinin temsili (10.43) ve sınır dağılımı (10.46) . Değişen şey, A’nın dağılımının artık mutlak olarak sürekli olmasına gerek olmamasıdır.

Özellikle, A sıfırda bir nokta kütlesine sahip olabilir, bu durumda kuyruk zinciri için soğurma durumu γ> 0 ise −1 / γ ve γ ≤ 0 ise −∞ olabilir. Ayrıca, P [A = 1 ] = 1, (X1, X2) (bölüm 8.3.2) dağılımının asimptotik tam bağımlılığına karşılık gelir, bu durumda tüm n ≥ 1 için Yn = Y1, ihlal söz konusudur.

Ekstremal İndeks

Bölüm 10.4.1’deki gibi {Xn} ‘in, {Yn} tatmin edici (10.46) kuyruk zinciri ile sabit bir Markov zinciri olduğunu varsayalım. Markov zincirinin aşırı endeksini θ kuyruk zinciri açısından ifade etmek istiyoruz. Bu, verilerden kuyruk zincirini tahmin ettiğimizde, daha sonraki bir aşamada aşırı endeksi tahmin etmemize izin verecektir.

0 ≤ j ≤ k tamsayıları için Mj, k = max {Xj + 1, …, Xk} (max = −∞) ve Mk = M0, k. Bölüm 10.2.3’te, uygun varsayımlar altında, aşırı endeksin θ, θnR (un) = P [M1, rn ≤ un | X1> un]. Şimdi θnR (un) sınırının kuyruk zinciri tarafından belirlendiğini bulacağız. Baştan sona Koşul 10.8’i varsayıyoruz.

(10.46) ile, sağdaki son terim n → ∞ olarak sıfıra yakınsar. M keyfi olduğu için, m → ∞’un (10.8) ve (10.48) ile elde edilmesine izin verebiliriz,’nin gerçekten sadece zincirdeki bağımlılık yapısıdır.