Ekstremal İndeks – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
Zincirin uçları ve çıkarım yöntemleri için modelimiz, koşullu olarak X1> u üzerinde {(Xi – u) / σ (u)} mi = 1 vektörünün sınırlayıcı dağılımına dayanacaktır, burada m a pozitif tamsayı. Şimdi, (10.34) – (10.35) koşullarını uyguladığımız sürece önemsiz olmayan bir sınırın gerçekten var olduğunu göstereceğiz.
İlk olarak, aşırı değer dağılımı G’ye daha yakından bakıyoruz. Bölüm 8.2’den aşağıdaki gerçekleri hatırlıyoruz. İşlev;
0 <zi <∞ (i = 1, 2)
standart Fre ́chet marjları olan iki değişkenli bir uç değer dağılımıdır ve birim aralık [0, 1] üzerinde pozitif bir H ölçüsü vardır, böylece
V ∗ (z1, z2) = – I G ∗ (z1, z2)
H ölçüsü, spektral ölçü olarak adlandırılır ve zorunlu olarak kısıtlamaları karşılar. Basitlik adına, aşağıdaki varsayımı yapıyoruz.
Koşul 10.19 Spektral ölçü H, 0 <w <1 için sürekli yoğunluk fonksiyonu h (w) ile mutlak süreklidir.
Bu durum gerçekten de bir kısıtlama oluşturmaktadır. Örneğin, G'nin sınırlarının bağımsız olmasını yasaklar, bu durumda H, 0 ve 1 üzerinde yoğunlaşır. Örnek 8.1'deki asimetrik lojistik (Tawn 1988a) gibi bazı parametrik modeller de H'nin sıfır olmayan kütleye sahip olmasına izin verir. 0 ve 1'de. Aşağıdaki argümanlar bu durumları da kapsayacak şekilde genişletilebilir.
Koşul 10.19 altında, V ∗ işlevi iki kez türevlenebilirdir ve kısmi türevleri uygun alt simgelerle belirtirsek, denklem (8.36) ile elde ederiz.
V ∗ 12 (z1, z2) = – (z1 + z2) −3h {z1 / (z1 + z2)} (10.38) 0 <zi 0 (i = 1,2),
V (x1, x2) = V ∗ (z1, z2), zi = (1 + γxi) 1 / γ (i = 1,2), (10
V fonksiyonu da iki kez türevlenebilir ve koşulları (10.34) – (10.35) yoğunluklara genişleten bir varsayım formüle edebiliriz.
Koşul 10.20 V işlevi iki kez türevlenebilir ve x, x1, x2 için
1 + γx> 0and1 + γxi> 0 (i = 1,2) bir su ↑ x ∗ var
Koşul 10.20 altında, X1> u için koşullu olarak {(Xi – u) / σ (u)} mi = 1 vektörünün eklem yoğunluğunun sınırını bulabiliriz. İ = 1, 2 için 1 + γ xi> 0 olacak şekilde x1 ve x2 için,
σ (u) f {u + σ (u) x2 | u + σ (u) x1}
= σ2 (u) f {u + σ (u) x1, u + σ (u) x} / F ̄ (u)
σ (u) f {u + σ (u) x1} / F ̄ (u)
→ – (1 + γ x1) 1 / γ + 1V12 (x1, x2), u
Dolayısıyla (10.33) ile, {(Xi – u) / σ (u)} mi = 1’in eklem yoğunluğu (x1, …, xm) içinde X1> u için koşullu olarak x1> 0 ve 1 + γxi> 0 i = 1 için, …, m σm (u) f {u + σ (u) x1, …, u + σ (u) xm} / F ̄ (u) ‘yu sağlar.
Şimdi T standart bir Pareto rastgele değişken olsun, P [T> t] = 1 / t, 1 ≤ t 0 (i = n − 1, n) gibi n ≥ 2 ve (xn − 1, xn) için Yn’nin yoğunluğu koşullu olarak Yn − 1 = xn − 1’dir, zi = (1 + γxi) 1 / γ , eşittir.
= (1 + zn / zn − 1) −3h {(1 + zn / zn − 1) −1} z − 1 dzn n − 1 dxn
= −V ∗ 12 (zn − 1, zn) z2 dzn n − 1 dxn
= – (1 + γ xn − 1) 1 / γ + 1V12 (x
daha sonra (10.43), (10.42), (10.38) ve (10.39) kullandık. (10.41) ile (10.45) birleştirilerek, tüm pozitif tamsayı m için Koşullar 10.19 ve 10.20 altında elde ederiz.
u ↑ x ∗ olarak. {Yn} sürecine Markov zincirinin {Xn} kuyruk zinciri denir. Yüksek bir X1> u değerinde başlatıldığında ikincisinin davranışını açıklar. Kuyruk zincirinin tamamen uç değer endeksi γ ve A’nın dağılımı tarafından belirlendiğini hatırlayın; X1> u koşuluna bağlı (X1,.., Xm) ‘nin yaklaşık dağılımını bulmak için, ayrıca ölçekleme parametresi σ (u)’ ya ihtiyacımız var. Son olarak, (10.40) ve (10.45) ‘in A’nın dağılımının uygun bir yorumunu verdiğini gözlemleyin.
Örnek 10.21 V ∗ için popüler bir parametrik model lojistik modeldir.
−1 / α −1 / αα
V ∗ (z1, z2) = z1 + z2, 0 <zj <∞ (j = 1,2)
0 <α ≤ 1 parametresiyle, bkz. (9.6). Α = 1 durumu bağımsız kenar boşluklarına karşılık gelir, bu durumda spektral ölçü H, birim kütleyi Koşul 10.19'u ihlal ederek 0 ve 1'e koyar. 0 <α <1 ise, doğrudan hesaplama şunu ortaya çıkarır:
P [A≤a] = – V ∗ 1 (1, a) = (1 + a − 1 / α) – (1 − α), 0 <a 0 ise −1 / γ ve γ ≤ 0 ise −∞ olabilir. Ayrıca, P [A = 1 ] = 1, (X1, X2) (bölüm 8.3.2) dağılımının asimptotik tam bağımlılığına karşılık gelir, bu durumda tüm n ≥ 1 için Yn = Y1, ihlal söz konusudur.
Ekstremal İndeks
Bölüm 10.4.1’deki gibi {Xn} ‘in, {Yn} tatmin edici (10.46) kuyruk zinciri ile sabit bir Markov zinciri olduğunu varsayalım. Markov zincirinin aşırı endeksini θ kuyruk zinciri açısından ifade etmek istiyoruz. Bu, verilerden kuyruk zincirini tahmin ettiğimizde, daha sonraki bir aşamada aşırı endeksi tahmin etmemize izin verecektir.
0 ≤ j ≤ k tamsayıları için Mj, k = max {Xj + 1, …, Xk} (max = −∞) ve Mk = M0, k. Bölüm 10.2.3’te, uygun varsayımlar altında, aşırı endeksin θ, θnR (un) = P [M1, rn ≤ un | X1> un]. Şimdi θnR (un) sınırının kuyruk zinciri tarafından belirlendiğini bulacağız. Baştan sona Koşul 10.8’i varsayıyoruz.
(10.46) ile, sağdaki son terim n → ∞ olarak sıfıra yakınsar. M keyfi olduğu için, m → ∞’un (10.8) ve (10.48) ile elde edilmesine izin verebiliriz,’nin gerçekten sadece zincirdeki bağımlılık yapısıdır.
