Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (14) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma

Temel Dağıtımın Koşulu

D (􏰢) ‘nin dağılım işlevi açısından karakterizasyonu da diğer iki durumdan daha karmaşıktır. De Haan’ın (1970) öncü tezi, aşırı değer analizine olan ilgiyi canlandırarak bu soruna bir çözüm getirmiştir.

Önerme 2.1 F dağılımı D (􏰢) ‘ye aittir, ancak ve ancak bazı yardımcı fonksiyonlar için her v> 0 için bu sonuç, Frechet-Pareto ve aşırı değer Weibull durumundan oldukça farklı niteliktedir, şimdi soru (2.12) ‘deki formülasyon (Cγ) genel durumuna genelleştirilebilirse sorulabilir. Bu bölüm 2.6’da yapılacaktır. Bu genel durum için bir ispat taslağı 2.9.4. Bölümde verilecektir.

Tarihsel Yaklaşım ve Örnekler

Γ = 0 durumu, üç aşırı değer alanının görünüşte garip bir şekilde ele alınmasından sorumlu olmuştur. İstatistiklerden en klasik dağılım için uygun merkezleme ve normlama sabitlerini bulmaya çalışırsanız, normal dağılım, hesaplamalar hiçbir şekilde önemsiz değildir.

Von Mises yeterlilik koşulu öncekinden biraz daha karmaşıktır.

Önerme 2.2 Von Mises teoremi Eğer r (x) x’in komşuluğunda nihayetinde pozitifse, orada türevlenebilirse ve lim dr (x) = 0’ı karşılarsa, F aittir

Çekim koşulunun 􏰢 olarak kontrol edilmesiyle ilgili hesaplamalar genellikle sıkıcıdır. Bu bakımdan von Mises kriteri, özellikle Gumbel alanı çok geniş olduğu için çok kullanışlı olabilir. Bu, normal dağılımın yanı sıra (klasik) Weibull dağılımı F (x) = 1 – e − xα ile α> 0 ve x> 0 ile gösterilebilir. Ayrıca, lojistik dağılımın açık bir ifadesi vardır F (x) = {1 + exp (- (x – a) / b)} – 1, von Mises koşulunu sağladığı kolaylıkla gösterilir. Log-normal dağılım için hesaplamalar biraz sıkıcıdır.

(Cγ) için Alternatif Koşullar

Genel duruma dönüyoruz. EVI’nin keyfi değerleri için istatistiksel konular ışığında, çekim koşulunun genel alanı (Cγ) için alternatif koşullara ihtiyacımız var. Bu bölümdeki sonuçların kanıtları, çekim probleminin maksimum düzeyde tartışılmasında muhtemelen en teknik noktalardan biridir. Sonra tekrar, F’nin sürekli olduğu ek kısıtlamadan yola çıktığımız için en genel durumu ele almıyoruz. İspatlar bölümün sonuna ertelenir.

(i) Dağıtım işlevi açısından bir birinci ve eşdeğer koşul verilir. Sonuç de Haan’dan (1970) gelir ve γ = 0 durumu için Önerme 2.1’i genel duruma genişletir. Türetme, bölüm 2.9.4’e ertelenmiştir.

Önerme 2.1 F dağılımı, ancak ve ancak bazı yardımcı fonksiyonlar için b ve 1 + γ v> 0 ise D (Gγ) ‘ya aittir. Bölüm 2.9.4’te gösterileceği gibi, yardımcı fonksiyon b, b (y) = a (U ← (y)) olarak alınabilir.

Başka bir eşdeğer koşul, yukarıdakilerle yakından bağlantılıdır. Keyfi bir şekilde y → ∞’a izin vermek yerine, 1 – F (y) = n − 1 veya eşdeğer olarak y = U (n) koyarak y’yi sınırlayabiliriz.

Önerme 2.2 F dağılımı, ancak ve ancak

• n {1 – F (U (n) + bnv)} → H (v) (2,14) bir pozitif sekans bn ve pozitif, sabit olmayan bir fonksiyon söz konusudur.

Daha önce olduğu gibi, gerçek bir γ için açık form (1 + γ v) −1 / form için sınırın salt varlığı yeterlidir.

(ii) İşte istatistiksel bölümlerde çok önemli olacak olan (Cγ) için gerekli ilk koşul. (Cγ) koşulu, x → ∞ için

(iii) U ve a arasındaki ilişki (Cγ) ve (C ̃γ) koşullarında göründüğü şekliyle üç durumda farklıdır. Bu, aşağıdaki sonuçtan anlaşılır.

Teorem 2.3’e (Cγ) bakalım;

(i) Frechet-Pareto durumu: γ> 0. a (x) / U (x) → γ olarak x → ∞ ve U oranı, yardımcı fonksiyon a ile aynı düzenli varyasyona sahiptir; dahası, (Cγ) bir s.v.’nin varlığına eşdeğerdir. U (x) = xγ lU (x) olan lU işlevi hesaplanır.
(ii) Gumbel durumu: γ = 0. x ∗ sonlu olduğunda a (x) / U (x) → 0 ve a (x) / {x ∗ – U (x)} → 0 oranlarına bakılır.
(iii) (Ekstremal) Weibull durumu: γ <0. Burada x ∗ sonludur, a (x) / {x ∗ – U (x)} → −γ ve {x ∗ – U (x)} oranı yardımcı fonksiyon a ile aynı düzenli değişim; dahası, (Cγ) bir s.v.’nin varlığına eşdeğerdir. x ∗ – U (x) = xγ lU (x) olan lU fonksiyonu çıkar.

Ancak, a işlevi, tüm durumlarda log olarak dönüştürülmüş verilerin ortalama fazla işlevine bağlanabilir. Önce γ> 0 olduğu durumu ele alacağız. Daha sonraki bir bölümde, Hill’in tahmincisinin şu gerçeğe dayanarak nasıl motive edilebileceğini göreceğiz.

PAZARLAMA dağıtım kanalları
Dağıtım kanalları Nelerdir
Doğrudan dağıtım nedir
Pasif dağıtım nedir
Dolaysız dağıtım nedir
Dağıtım stratejileri
Yoğun Dağıtım Nedir
Dağıtım kanalı Nedir

Tarihsel Yaklaşım Üzerine Daha Fazlası

Önceki bölümlerde gösterildiği gibi, literatür, kuyruk kuantil fonksiyonu U yerine F dağılımına atıfta bulundukları için daha geleneksel olan başka formlar sunar. Sonucu tarihsel biçiminde formüle etme ihtiyacını hissediyoruz. Çekim koşulları alanını da dahil ediyoruz. Sonraki teorem, Fisher ve Tippett (1928) ve Gnedenko (1943) tarafından türetilen tarihsel sonuçları içerir.

Yalnızca konum ve ölçekte farklılık gösteren dağılımlar aynı türden adlandırılır.

Teorem 2.1 Fisher-Tippett-Gnedenko Teoremi

Aşırı kanunlar tam olarak aşağıdakilerden biriyle tür içinde ele alınır;

(i) Fre chet-Pareto-türü
(ii) Gumbel türü
(iii) (Ekstremal) Weibull tipi

Özet

Bir aşırı değer dağılımının maksimum çekim alanına ait olan bir dağılım için 1 – F veya kuyruk kuantil fonksiyonu U (y) = Q (1 – 1 / y) üzerindeki koşullarla ilgili bu bölümün en önemli sonuçlarını özetliyoruz.

Arkaplan Bilgisi

Bu bölümde, matematiksel türevleri tam olarak anlamak için gerekli olan arka planın çoğunu sağlayan bir dizi sonuç topluyoruz. Bu sonuçların bir kısmı kanıtlanırken, diğer ifadelerin ispatı için okuyucuyu literatüre yönlendiriyoruz. Temel dağılımlara gerçekte ne tür koşullar empoze ettiğimizi görmek için yararlı olan ters fonksiyonlar hakkında bilgilerle başlıyoruz. Daha sonra düzenli varyasyonun işlevleri hakkında bilgi topluyoruz: Burada Bingham ve ark. (1987) uygun bir referanstır. Son bölümde, koşulun (Cγ) alternatif biçimlerine ve temel dağılım F ile ilişkisine dönüyoruz.

Bir Dağılımın Tersi

Genel bir dağılımla başlayın F ile başlayın. ∗ x: = inf {x: F (x)> 0} F’nin sol uç sınırını, benzer şekilde x ∗: = sup {x: F (x) <1} ile belirtin. Kuyruk kuantil fonksiyonunu U (t): = inf {x: F (x) ≥ 1 – 1 / t} ile tanımlarız. Kuyruk kuantil fonksiyonu U ve kuantil fonksiyon Q’nun U (t) = Q (1 – 1 / t) ilişkisi ile bağlantılı olduğuna dikkat edin.

Bu tanımdan aşağıdaki eşitsizlikleri elde ederiz:

(i) Ifz <U (t), bu durumda 1 − F (z)> 1 / t;
(ii) t> 0,1 − F (U (t)) ≤1 / t;
(iii) tüm x <x ∗, U (1 / (1 − F (x))) ≤ x için.

U (1) = ∗ x iken U (∞) = x ∗ olduğuna dikkat edin. F sürekli ise, 1 – F (U (t)) = 1 / t eşitliğinin geçerli olduğunu, U sürekli ise U (1 / (1 – F (x))) olduğunu kanıtlamak kolaydır. = x. Her durumda, F sağda sürekli iken U solda sürekli olacaktır.

F’den U’ya ve geriye kolay geçiş, her zaman F ve U’nun sürekli olduğunu varsaymanın ana nedenidir.

Daha da özel olan, F’nin tanım alanında kesinlikle pozitif bir türevi f’ye sahip olduğu önemli durumdur. O zaman U’nun da bir u türevi vardır ve her iki türev de f (U (t)) u (t) = t − 2 (2.17) denklemiyle bağlanır.