Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (27) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Kuyruk Olasılık Görünümü – Eşiğin Üstünde Zirve Yöntemi
Temel Model
(Cγ ∗) koşulundaki sol taraf, yb (t)> 0’da alınan aşımların (veya zirvelerin veya aşırılıkların) Y = X – t eşik değeri üzerinden koşullu hayatta kalma işlevi olarak yorumlanabilir:
Bu nedenle, (Cγ ∗) ‘den, (C̄ ∗)’ de sağ tarafın verdiği dağılımla F byt dağılımını yaklaşık olarak tahmin etmek doğal bir istatistiksel prosedür gibi görünmektedir:
Bu son ifadede b (t) ‘yi bir ölçek parametresi σ olarak yorumlayarak, yeterince yüksek bir eşik üzerindeki aşımlara göre belirlenen GP dağılımını, H’ye uydururuz.
GP dağılımının, yüksek eşikler üzerindeki aşımlara yönelik yaklaşık bir model olarak kullanılması, aynı zamanda, yüksek seviyeli aşımların bir noktasal süreç karakterizasyonu temelinde de motive edilebilir. Nokta süreçleri hakkında daha fazla ayrıntı için okuyucuya bölüm 5.9.2’ye başvuruyoruz. X1 olsun. . . , Xn, F’nin (Cγ) karşıladığı ve iki boyutlu nokta sürecini dikkate aldığı ortak dağılım fonksiyonu F olan bağımsız rasgele değişkenlerdir.
Burada an ve bn, Bölüm 2’de tartışıldığı gibi Xn, n’yi uygun şekilde normalize eder. Alt sınırı dışlayan kümelerde, Pn’nin iki boyutlu bir Poisson sürecine zayıf bir şekilde yakınsadığı gösterilebilir. Sınırlayıcı Poisson sürecinin yoğunluk ölçüsü , Poisson özelliğinden hemen elde edilebilir. Nitekim, Şekil 5.6’dan beri, bu nokta süreç yorumlaması için grafiksel bir gösterim sağlanmıştır.
Bu, σ (u) = 1 + scale u ölçeğiyle GP hayatta kalma fonksiyonudur. Pratik amaçlar için, bilinmeyen normalleştirme sabitleri olan an ve bn GEV dağılımında absorbe edilebilir. Bu nedenle, yüksek eşiklerin üzerinde, Pn, yoğunluk ölçülü iki boyutlu bir Poisson süreci ile yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Bu nokta işlem sonuçlarının ayrıntılı bir matematiksel türetilmesi için, ilgilenen okuyucuyudur.
Parametre tahmini nedir
Parametre tahmini örnekleri
Parametre tahmin yöntemleri
Normal dağılım parametre tahmini
En çok OLABİLİRLİK tahmin edicisi
Ekonometri parametre tahmini
Yansız tahmin edici
Yansız tahmin Edici örnek
Parametre Tahmini
Orijinal örnekten X1, eşik değeri t ve veri Nt sayısı verildiğinde Xn t’yi aştığında, γ ve σ parametrelerinin tahmini çeşitli yollarla gerçekleştirilebilir. ML yönteminden, (olasılık ağırlıklı) momentler yönteminden ve elemental persentil yönteminden (EPM) bahsediyoruz. Mutlak kazançları, Xi> t, j = 1, …, Nt koşuluyla Yj = Xi − t ile gösteriyoruz, burada i orijinal örnekteki j-inci aşımının indeksidir. Genellikle, eşik örnek noktalarından birinde alınır, yani t = Xn − k, n. Bu durumda, sıralı aşımlar Yj, k = Xn − k + j, n – Xn − k, n, j = 1, ile verilir.
ML Yöntemi
Örnek Y1 için log-olabilirlik fonksiyonu ve rastgele değişkenler verilir.
Olasılık ağırlıklı momentler yöntemi
GP dağılımı için momentler yöntemi (MOM) ve olasılık ağırlıklı momentler (PWM) tahmin ediciler yöntemi Hosking ve Wallis (1987) tarafından tanıtıldı. Her iki yöntem de bilinmeyen parametreler için tahmin edicilerin popülasyon anları için ifadelerden türetilebileceği temel fikrini paylaşır. GP dağılımının r-inci anı, γ <1 / r ise mevcuttur. Var olmaları koşuluyla, GP dağılımının ortalaması ve varyansı sırasıyla verilmiştir.
Şimdi GP parametreleri σ ve γ’nin PWM tahminine dönüyoruz. GP dağılımı durumunda, (5.4) ‘ü p = 1, r = 0 ve s = 0,1,2, … şeklinde düşünmek uygundur.
Γ için PWM tahmincisinin, sıralı aşımların ağırlıklı toplamlarının bir oranı olarak yazılabileceğini unutmayın. M 1,0, s’nin M1,0, s için bir tahminleyici olarak kullanılması durumunda, bu daha sonra verir
MOM ve PWM tahmin edicilerinin uygulanması sorunsuz değildir. İlk olarak, γ ≥ 1 durumunda, MOM ve PWM tahmin edicileri mevcut değildir. İkinci olarak, elde edilen tahminler gözlemlenen verilerle tutarsız olabilir, yani γ <0 olması durumunda bazı gözlemler sağ son nokta tahmininin üzerine düşebilir.
Elemental Yüzdelik Yöntem
Castillo ve Hadi (1997) tarafından sunulan elemental yüzdelik metodu (EPM), ML metodu ve (olasılık ağırlıklı) moment metodu ile ilgili bazı zorlukların üstesinden gelir. Aslında, bu yöntem için, γ değerinde herhangi bir kısıtlama yoktur. Burada, γ ̸ = 0 tahminine odaklanacağız. Γ = 0 durumunda, σ parametresi ML yöntemi ile verimli bir şekilde tahmin edilebilir.
Örnek bir Y1 varsayalım, rastgele değişkenler mevcuttur. Yi, Nt ve Yj, Nt olmak üzere iki ayrı sıra istatistiğini ele alalım. Bu sıra istatistiklerinde değerlendirilen GP kümülatif dağılım işlevini karşılık gelen yüzdelik değerlerle eşitlemek, iki bilinmeyenli iki denklem sistemi verir.
Yukarıdaki tartışmada, her zaman bir örnek Y1 olduğunu varsaydık. . . , İ.i.d’den YNt. GP rastgele değişkenler mevcuttur. Veriler kesin olarak dağıtılmış GP değilse, kişi ilişkiye (5.12) güvenebilir ve GP dağılımını aşımların koşullu dağılımına bir yaklaşım olarak kullanabilir. Bu durumda, GP dağılımı, yukarıda açıklanan yöntemlerden biri kullanılarak, Yj = Xi −t, incaseXi> t, j = 1, …, Nt işlemlerine uyarlanır. İkinci durumda, Nt’nin rastgele olduğunu unutmayın.
Örnek 5.3 (devam) POT yaklaşımını bölüm 1.3.3’te tanıtılan 400.000 USD eşikle tanıtılan SOA Grubu Sağlık Sigortası verilerine uygulayarak, GP dağılımını yj = xi – 400.000 fazlalıklarına uydurduk. ML prosedürü, t = 400.000 olduğunda γˆ = 0.3823’e yol açar.
Yi verilerinin deneysel dağılım fonksiyonuna uygun bu GP’nin kalitesi Şekil 5.7 (a) ‘da gösterilmektedir. Şekil 5.7 (b), t = 400.000 üzerindeki aşımlara uyan GP’nin W-grafiğini içermektedir. Tablo 5.2’de, GP dağılımının t = 400.000 üzerindeki fazlalıklara uydurulmasından elde edilen σ ve γ parametreleri için ML, MOM, PWM ve EPM tahminlerini gösteriyoruz.
T eşiğinin seçimi, çok açık bir konudur ve önceki bölümde k değeri seçimine benzer. Hill tahmincisinde olduğu gibi, tahmin edicinin önyargısının en küçük olacağı yüksek t değerleri ile varyansın en küçük olacağı düşük t değerleri arasında bir uzlaşma bulunmalıdır.
POT yöntemi ile ilgili literatürde bu konuya çok fazla dikkat gösterilmemiştir. Davison ve Smith (1990) ortalama fazlalık grafiğini kullanmayı önermektedir. Aslında, GP dağılımının ortalama fazla fonksiyonu doğrusal ifade ile verilmektedir.
Bununla birlikte, POT yöntemi, genellikle Hill grafiklerine göre daha az değişken olan, k’nin bir fonksiyonu olarak γˆk tahminlerinin sabit grafiklerine yol açacaktır. SOA Grubu Sağlık Sigortası verilerine ilişkin Şekil 5.8’de bir örnek bulunmaktadır.
POT yöntemi, t eşiğinin bir fonksiyonu olarak tahminler için daha kararlı grafikler verirken, sapmanın hala oldukça önemli olabileceğini vurgulamalıyız.
Ekonometri parametre tahmini En çok olabilirlik tahmin edicisi Normal dağılım parametre tahmini Parametre tahmin yöntemleri Parametre tahmini nedir Parametre tahmini örnekleri Yansız tahmin edici Yansız tahmin Edici örnek