Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (42) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
(8.1) tutarsa, F’nin G’nin (max-) çekim alanında olduğunu söyleriz, F ∈ D (G) notasyonu. Ayrıca, G’ye (çok değişkenli) aşırı değer dağılım fonksiyonu denir.
Denklem çalışması (8.1) daha sonra iki kısma ayrılır:
- (i) uç değer dağılım fonksiyonlarının sınıfını karakterize eder ve
- (ii) belirli bir uç değer dağılım fonksiyonu için çekim alanını karakterize eder.
Sonraki iki bölümde bu bölümleri ayrı ayrı ele alacağız. Başlamadan önce, yapılması gereken basit ama çok önemli bir gözlem var. Fj ve Gj sırasıyla F ve G’nin j. Marjinal dağılım fonksiyonlarını göstersin. Gj’nin dejenere olmadığını varsayalım. Rastgele vektörlerden oluşan bir dizi, yalnızca karşılık gelen marjinal diziler yaparsa dağılımda birleşebileceğinden,
- j = 1, …, d, Fjn (an, jxj + bn, j) → D Gj (xj), n → ∞ olur.
Bu nedenle, her Gj kendi başına tek değişkenli bir uç değer dağılım fonksiyonudur ve Fj, çekim alanı içindedir. Bu, Bölüm 2’de kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Bu bölümde, o halde, F ve G’nin bağımlılık yapılarına odaklanabiliriz.
Son bir açıklama: G’nin marjinal dağılımları sürekli olduğundan, G’nin kendisi süreklidir, bu nedenle (8.1) ‘deki yakınsama sadece dağıtımda değil, aynı zamanda her x ∈ [−∞, ∞] için de geçerlidir hatta tekdüze olarak alınır.
Çok Değişkenli Aşırı Değer Dağılımları
Tek değişkenli durumun aksine, çok değişkenli aşırı değer dağılımları, sonlu boyutlu bir parametre vektörü tarafından indekslenmiş bir parametrik aile olarak temsil edilemez. Bunun nedeni, bağımlılık yapılarının sınıfının çok büyük olmasıdır. Bunun yerine, çok değişkenli uç değer dağılımları ailesi, örneğin, bir dışbükey işlevler sınıfı tarafından veya başka bir açıklamada, bir sonlu ölçüler sınıfı tarafından endekslenir.
Maksimum kararlılık ve maksimum sonsuz bölünebilirlik
Denklem (8.1) ile başlayalım. Bölüm 2’deki tek değişkenli uçlar teorisinden, pozitif tamsayı k için, a 1a → α ve a − 1 (b −b) → β, n → ∞ olacak şekilde αk> 0 ve β vektörlerinin olduğunu biliyoruz. Ancak, pozitif tamsayı k ve x ∈ Rd için, n → ∞ olarak Fnk (ankx + bnk) → G (x) ve ayrıca a x + b = a {a − 1a x + a − 1 (b −b )} + b, elde ederiz
- Gk (αkx + βk) = G (x), x ∈ Rd.
Her pozitif tamsayı k için αk> 0 ve βk vektörlerini bulabileceğimiz bir d-değişken dağılım fonksiyonu G, öyle ki (8.2) tutuşları max-kararlı olarak adlandırılır. Anlamı tek değişkenli durumdaki ile aynıdır: Y, Y1, Y2, … dağıtım fonksiyonu G olan bağımsız rastgele vektörler ise, o zaman, açıktır ki, maksimum kararlı dağıtım işlevi kendi çekim alanı içindedir; özellikle, uç değer dağılım fonksiyonu olmalıdır. Önceki paragrafla birlikte bu argüman, aşırı değer ve maksimum kararlı dağıtım fonksiyonlarının sınıflarının aslında çakıştığını gösterir.
(8.2) ‘nin bir sonucu, G1 / k’nin her pozitif tamsayı k için bir dağılım fonksiyonu olmasıdır, yani G, maksimum sonsuz bölünebilirdir (Balkema ve Resnick 1977). Özellikle, [−∞, ∞) üzerinde μ ölçüsü vardır, öyle ki
- G (x) = exp {−μ ([- ∞, ∞) \ [−∞, x])}, x ∈ [−∞, ∞] olur.
Üslü ölçü, μ genel olarak benzersiz değildir ve gelecekte her zaman aşağıdaki özel seçimi kullanacağız. J = 1 için. . . , d, qj, jthmargin, Gj, ofG’nin alt uç noktası olsun, yani qj = inf {x∈R: Gj (x)> 0}. q = (q1, …, qd) tanımlayın. Daha sonra, x ̸> q için G (x) = 0 olduğundan, [q, ∞) \ {q} üzerinde yoğunlaşan bir üs ölçüsü μ vardır. Dahası, böyle sadece bir üslü ölçü de vardır.
Üslü Ölçü
Bir dağılımda en çok tekrarlanan değeri ifade eden kavram
İstatistikte sınıf aralığı hesaplama
Standart Sapma hesaplama
Standart sapma
Normal dağılım
Normal dağılım özellikleri
Z Tablosu
Standart Frechet marjlarına indirgeme
Maksimum kararlı bir dağılımın bağımlılık yapısını incelemek için, marjları aynı olacak şekilde standartlaştırmak uygundur. Marjinal dağılımın kesin seçimi o kadar önemli değildir. Yine de, özellikle yararlı bir seçim, standart Fre -chet marjlarıdır, çünkü bu durumda üslü ölçü, yararlı bir homojenlik özelliğini de karşılamalıdır.
Μ ∗, basit uç değer dağılım fonksiyonu G ∗ ‘nin üslü bir ölçüsü olsun. Genelliği kaybetmeden, μ ∗’nin [0, ∞) \ {0} üzerinde yoğunlaştığını varsayabiliriz, böylece
- V ∗ (z): = – günlük G ∗ (z) = μ ∗ ([0, ∞) \ [0, z]), z ∈ [0, ∞]. (8.8) Bazı j = 1, …, d için zj = 0 olur olmaz V ∗ (z) = ∞ olduğunu gözlemleyin.
- Ayrıca, G ∗ kenar boşlukları standart Frechet’dir. Yani,V ∗ (∞, …, ∞, zj, ∞, ∞) = μ ∗ ({x ∈ [0, ∞): xj> zj}) = z − 1 olur.
G ve G’nin üs ölçüleri μ ve μ ∗ aşağıdaki şekilde ilişkilidir.
- Zj = −1 / logGj (xj) ile ilişkili x ∈ [q, ∞] ve z ∈ [0, ∞] olur.
Literatürde kullanılan marjlar için diğer seçeneklerle bağlantılar sonraki bölümde tartışılmıştır.
G ← j, Gj’nin kuantil fonksiyonunu, maksimum kararlı dağılım fonksiyonu G’nin j marjını, yani G ← j (p) = x ancak ve ancak Gj (x) = p ise, burada 0 <p < 1, olağan parametrelendirmede, bazı j ∈R, μj ∈Randσj> 0 için ise, o zaman, (L3) ‘teki üst ve alt sınırlar kendi başına da geçerli kararlı kuyruk bağımlılık işlevleridir.
Alt sınır, l (v) = v1 ∨ · · · ∨ vd, tam bağımlılığa karşılık gelir, G (x) = G1 (x1) ∧ ··· ∧Gd (xd), oysa üst sınır, l (v) = v1 + ··· + vd, bağımsızlığa karşılık gelir, G (x) = G1 (x1) ··· Gd (xd). Üstelik, aşağıdaki (8.23) ‘ten (L4) l dışbükeydir, yani
- λ∈ [0 için l {λv + (1 − λ) w} ≤λl (v) + (1 − λ) l (w) , 1] sonucunu alır.
İki değişkenli durum haricinde, (L1) – (L4) özelliklerinin kararlı kuyruk bağımlılık fonksiyonları sınıfını karakterize etmediğini, yani (L1) – (L4) ‘ü karşılayan bir l fonksiyonunun mutlaka bir kararlı kuyruk bağımlılığı işlevi de vardır.
Üç değişken durumda bir karşı örnek olarak, l (v1, v2, v3) = (v1 + v2) ∨ (v2 + v3) ∨ (v3 + v1) koyun.
Özellikler de (L1) – (L4) açıkça karşılanmıştır. Yine de l, kararlı bir kuyruk bağımlılığı işlevi olamaz, çünkü;
- l (1, 1, 0) = l (1, 0, 1) = l (0, 1, 1) = 2,
ikili bağımsızlık anlamına gelir ve bu nedenle, bir sonraki bölüme bakın. Bu noktada tam bağımsızlık, l (1, 1, 1) = 2 ̸ = 3 ile de çelişir.
Bir dağılımda en çok tekrarlanan değeri ifade eden kavram İstatistikte sınıf aralığı hesaplama Normal Dağılım Normal dağılım özellikleri standart sapma Standart Sapma hesaplama Z Tablosu