Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (46) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Biraz Tarih
İki değişkenli uç değer dağılımlarının en eski tanımları Tiago de Oliveira (1958), Sibuya (1960) ve Geffroy (1958/59) ‘a dayanmaktadır; ayrıca bkz. Gumbel’in ilk incelemesine (1962). Bu yazarların her biri, bağımlılık yapısını karakterize etmek için farklı bir işlev getirdi.
Bununla birlikte, Pickands (1981) tarafından keşfedilen temsil, öncekilerden çok daha uygun çıktı ve ikincisinin popülaritesini neredeyse sıfıra indirdi. Yine de Obrenetov (1991), Tiago de Oliveira ve Sibuya’nın bağımlılık fonksiyonlarının çok değişkenli uzantılarını inceledi. Tiago de Oliveira (1958, 1962) temsili aldı.
0 <t <∞ için (1 + t) k (log t) = l (t, 1) olduğundan, R üzerindeki bir k fonksiyonunun Tiago de Oliveira bağımlılık fonksiyonu olması için gerekli ve yeterli koşullar (i) t ∨ 1’dir.
- ≤ (1 + t) k (log t) ≤ t + 1 ve (ii) (1 + t) k (log t), t’nin bir dışbükey fonksiyonudur.
Daha sonra Geffroy (1958/59) temsili ele aldı. Kararlı kuyruk bağımlılığı fonksiyonu l açısından, φ (t) = l (t, 1) −1, 0 <t <∞ var.
Φ on (0, ∞) ‘daki bir fonksiyonun Geffroy bağımlılık fonksiyonu olması için gerekli ve yeterli koşullar, (i) 0 ∨ (t – 1) ≤ χ (t) ≤ t ve (ii) conv dışbükeydir.
Kararlı kuyruk bağımlılığı fonksiyonu açısından, l, χ (t) = l (1, t) – (1 + t), 0 <t <∞ vardır.
Dolayısıyla, bir χ on (0, ∞) fonksiyonunun Sibuya bağımlılık fonksiyonu olması için gerekli ve yeterli koşullar (i) – (t ∧ 1) ≤ χ (t) ≤ 0 ve (ii) χ dışbükeydir.
Kenar Boşlukları İçin Diğer Seçenekler
Literatürde standart Fre chet dışındaki diğer marjlara indirimler de göz önünde bulundurulmuştur, diğer popüler dağıtımlar üstel, uç değer Weibull, Gumbel veya tek tip dağılımdır. Kuşkusuz, marjinal dağılımın seçimi esasen hiçbir fark yaratmasa da, bazı özellikler veya nitelikler en doğal olarak belirli bir seçim için görülür. Ayrıca, farklı seçimler bazen farklı istatistiksel yöntemleri motive eder.
Üstel Kenar Boşlukları
Pickands (1981) tarafından böyle bir seçim, maksimumdan ziyade minimum için tek değişkenli bir uç değer dağılımı olan standart üstel dağılımdır. Rastgele vektör Y’nin uç değer dağılım fonksiyonu G’ye sahip olmasına izin verir.
Daha sonra (- log G1 (Y1),.., – log Gd (Yd)) standart üstel kenar boşluklu minimumlar için çok değişkenli bir uç değer dağılımına sahiptir, P [- log Gj (Yj) ≤ v] = 1 – e − v için v ≥ 0. Onun ortak hayatta kalan işlevi tarafından verilir;
- P [−logG1 (Y1)> v1, …, – logGd (Yd)> vd] = exp {−l (v)}
Olağanüstü Değer Weibull Marjları
Üstel kenar boşlukları yerine, Falk ve ark. (1994), aşırı değer Weibull veya ters üstel marjları tercih etmektedir. W ∈ [−∞, 0] için,
- P [logG1 (Y1) ≤ w1, …, logGd (Yd) ≤ wd] = exp {−l (−w)},
marjinal dağılım ile P [log Gj (Yj) ≤ w] = ew, w ≤ 0 için. İki değişkenli durumda,
- P [logG1 (Y1) ≤ w1, logG2 (Y2) ≤ w2] = exp for (w1, w2) ∈ [−∞, 0] 2 olur.
Weibull dağılımı parametreleri
Weibull Dağılımı Örnek Sorular
Weibull dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu
Weibull dağılımı formülü
Weibull dağılımı rüzgar
Weibull distribution
Weibull dağılımı özellikleri
Laplace dağılımı
Gumbel Kenar Boşlukları
Çok değişkenli aşırı değer teorisinin ilk günlerinde, muhtemelen Gumbel’in (1958) klasik monografisinin etkisiyle, Gumbel sınırlarına göre standartlaştırmak alışılmış bir şeydi.
Gumbel dağılım fonksiyonunun x ∈ R için (x) = exp (−e − x) ile tanımlandığını hatırlayın.G çok değişkenli bir uç değer dağılım fonksiyonu ise, o zaman rastgele vektörün dağılım fonksiyonu (−log {−logG1 (Y1)}, …, – log {−logGd (Yd)}), gösterimin biraz kötüye kullanılmasıyla verilir.
- (x) = exp {−l (e − x1, …, e − xd)}, x ∈ Rd,
Gumbel marjları olan çok değişkenli bir uç değer dağılım fonksiyonudur. İki değişkenli durumda buluyoruz.
- (x1, x2) = exp − (e − x1 + e − x2) k (x2 – x1) , (x1, x1) ∈ R2,
burada k, Tiago de Oliveira’nın bağımlılık fonksiyonudur.
Düzgün Kenar Boşlukları
Çok değişkenli bir dağıtım işlevinin bağımlılık yapısını tanımlamanın popüler bir yolu, onun kopulasıdır. Genel olarak, F1 kenar boşluklarına sahip herhangi bir çok değişkenli dağıtım işlevi F için. . . , Fd, (0, 1) üzerinde tekbiçimli kenar boşlukları olan bir CF dağılım fonksiyonu vardır.
- F (x) = CF {F1 (x1), …, Fd (xd)}, x ∈ Rd (Sklar1959).
Kenar boşlukları, Fj, sürekli ise, daha sonra, kopula, CF, benzersizdir ve
- CF (u) = F {F1 ← (u1), …, Fd ← (ud)}, u ∈ [0,1] d, olur.
dolayısıyla CF, rastgele vektörün (F1 (X1),.,., Fd (Xd)) dağılım fonksiyonudur, burada X, F dağıtım fonksiyonuna sahip rastgele bir vektördür. Burada Fj ←, Fj ile tanımlanan Fj’nin kuantil fonksiyonunu belirtir.
- ← (p) = inf {x ∈ R: F (x) ≥ p}.
Çok değişkenli aşırı değer dağılımı G’nin kopulası, rastgele vektörün (G1 (Y1), …, Gd (Yd)) dağılım fonksiyonudur ve şu şekilde verilir:
- CG (u) = exp [−l {- log (u1),. . . , – log (ud)}], u ∈ [0, 1] d,
Böyle bir kopula mutlaka kararlılık özelliğini karşılar
- CGs (u) = CG (us1, …, usd), u ∈ [0,1] d.
Tersine, (8.53) ‘ü karşılayan herhangi bir eşleşme, çok değişkenli uç değer dağılımının birleşimidir. İki değişkenli bir uç değer kopulası, Pickands bağımlılık işlevi açısından yazılabilir.
Aşırı Bağımlılık İçin Özet Önlemler
Maksimum kararlı bir dağılımın bağımlılık yapısı çeşitli şekillerde tanımlanabilir: önceki paragraflarda üslü ölçüler, spektral ölçüler, kararlı kuyruk bağımlılığı işlevi, Pickands bağımlılık işlevi, bağıntı vb. Bu miktarlar sonsuz boyutlu nesnelerdir ve bu nedenle kullanımı her zaman kolay değildir.
Olası bir çözüm, sonlu boyutlu ancak umut açısından yeterince büyük bir bağımlılık yapıları alt sınıfını seçmekten, yani dikkati parametrik bir modelle sınırlandırmaktan oluşur. Alternatif bir çözüm, bağımlılık yapısının temel özelliklerini, tam bağımlılık yapısının kaba ama temsili bir resmini veren bir dizi iyi seçilmiş katsayıda özetlemektir.
Aşırı Katsayılar
G, kenar boşlukları G1, ile maksimum kararlı bir dağılım fonksiyonu olsun. . . , Gd, iki norma göre spektral ölçüm S ∥ · ∥i (i = 1, 2) Rd üzerinde ve kararlı kuyruk bağımlılık fonksiyonu l. Boş olmayan bir V alt kümesi için {1,. . . , d}, eV, j’inci koordinatı j ∈ V veya j ̸∈ V’ye göre bir veya sıfır olan d boyutlu vektör olsun. Böyle bir V için katsayılar aşağıdaki gibi gruplanır;
- θV = l (eV) = ωj / ∥ω∥1) S (dω)
- P [Yj ≤G ← j (p), ∀j∈V] = pθV, 0 <p <1,
Laplace dağılımı Weibull dağılımı formülü Weibull Dağılımı Örnek Sorular Weibull dağılımı özellikleri Weibull dağılımı parametreleri Weibull dağılımı rüzgar Weibull dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu Weibull distribution