Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (50) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Üs ve Spektral Ölçü
X ∗ ve F ∗ (8.82) veya (8.87) ‘de olduğu gibi olsun. F ∗ ∈ D (G ∗) koşulu ayrıca üssel ölçü μ ∗ ve G ∗ spektral ölçüsü S ile bağlantılı olabilir, bakınız (8.8) ve (8.16). İlk olarak, (8.76) ile F ∗ ∈ D (G ∗) eşdeğerdir.
- μ ∗ t (·) = tP [t − 1X ∗ ∈ ·] → v μ ∗ (·) (8.94) [0, ∞] \ {0} üzerindedir.
Büyük t için bir yaklaşım olarak (8.94) alınması, bölüm 9.4.1’deki üs ölçüsü μ ∗’nin parametrik olmayan bir tahmini için bir reçeteye yol açar.
İkinci olarak, Rd üzerinde norm · ∥1 ve ∥ · ∥2 olmak üzere iki norm tarafından belirlendiği gibi, T sözde kutupsal koordinatlara dönüşüm olsun. T’yi t − 1X ∗ in’e uygulayıp (8.17) kullanarak, F ∗ ∈ D (G ∗) ‘nin eşdeğer olduğunu buluruz;
- tP [(t − 1∥X ∗ ∥1, X ∗ / ∥X ∗ ∥2) ∈ ·] → v r − 2drS (dω), t → ∞, (0, ∞] × . Denklem (8.95) ve dolayısıyla F ∗ ∈ D (G ∗), dolayısıyla birbirine eşdeğerdir.
- tP [∥X ∗ ∥1> t, X ∗ / ∥X ∗ ∥2∈ ·] → v S (·)
Denklemler (8.96) ve (8.97), radyal bileşeninin büyük olduğu bölgede X ∗ açısal bileşeninin dağılımı açısından spektral ölçü S’nin bir yorumunu verir. Üslü ölçüye gelince, limitleri büyük t için yaklaşık olarak yorumlamak bölüm 9.4.1’deki S’nin parametrik olmayan tahmin edicilerine giden yolu işaret eder.
Nokta Süreçleri
Nokta süreçler açısından, (8.73) ile, F ∗ ∈ D (G ∗) ancak ve ancak n − 1 D 1 n X ∗ i ∈ · → Ortalama ölçüsü μ ∗, (8,98) i = 1 olan Poisson sürecinde Xi ‘, X’ in bağımsız kopyalarıdır (de Haan 1985). Bu nokta-süreç karakterizasyonu, parametrik bir model bağlamında spektral ölçü S üzerinde olasılığa dayalı istatistiksel çıkarım için kullanılabilir.
Asimptotik Bağımsızlık ve Tam Bağımlılık
Çok değişkenli aşırı değer dağılımlarının bağımlılık yapıları sınıfı içindeki iki sınır durumu, bağımsızlık ve tam bağımlılık durumudur.
İkincisi yalnızca akademik öneme sahip olsa da, eski çok değişkenli dağılımlar, dejenere olmayan çok değişkenli normal de dahil olmak üzere, çok değişkenli aşırı değer dağılımının çekim alanı içinde yer aldığından, birincisi uygulamada oldukça önemlidir Sibuya’ya dönüş (1960); ayrıca aşağıdaki örneklerden bu durumu inceleyebilirsiniz.
Bu nedenle bölüm 9.5, asimptotik bağımsızlık durumunda daha rafine modellere ayrılmıştır. Burada, kendimizi iki durumun çekim alanlarının bazı özellikleriyle sınırlıyoruz.
Asimptotik bağımsızlık. CG (u) = u1 ··· ud, u ∈ [0,1] d için CG (u) = u1 ··· ud, (8.88) ‘de tanımlanan kuyruk bağımlılık fonksiyonu D = DF açısından asimptotik bağımsızlık şu şekilde yazılabilir:
- lim s − 1D (sv) = v1 + · · · + vd, v ∈ [0, ∞),
bkz. (8.89). Ek olarak F’nin her bir marjinal dağılımı Fj, bir uç değer dağılımının Gj etki alanı çekimindeyse, o zaman F, G (x) = G1 (x1) tarafından verilen G uç değer dağılımının çekim alanı içindedir.
Berman (1961), bir rasgele vektörün (X1, …, Xd), i ̸ = j olan tüm çiftler (Xi, Xj) asimptotik olarak bağımsız olduğu anda asemptotik olarak bağımsız olduğunu gösterdi. ; Dij (vi, vj) = D (v) olduğuna dikkat edin, burada v’nin k’inci koordinatı vk ise k ∈ {i, j} ve aksi halde sıfırdır. Temel Bonferroni eşitsizlikleri şunu verir;
- u1 + ··· + ud ≥D (u) ≥u1 + ··· + ud
Bu nedenle, tüm i ̸ = j ve tümü (vi, vj) ∈ [0, ∞) 2 için s 0 olarak s − 1Dij (svi, svj) → vi + vj gerçekten de asimptotik bağımsızlık anlamına gelir.
Çiftin (Xi, Xj) asimptotik olarak bağımsız olduğunu gözlemleyin.
- lim s − 1P [Fi (Xi)> 1 – svi, Fj (Xj)> 1 – svj] = 0, (vi, vj) ∈ [0, ∞) 2. s ↓ 0
Monotonluk ile, tek bir (vi, vj) ∈ (0, ∞) 2 için belirtilen yakınsamaya sahip olmak yeterlidir; özellikle (Xi, Xj) çifti asimptotik olarak bağımsızdır, eğer;
- ∃ (vi, vj) ∈ (0, ∞) 2: limP [Fi (Xi)> 1 − svi | Fj (Xj)> 1 − svj] = 0. s ↓ 0 ise
tipik olarak, bu sonuç vi = 1 = vj ile ifade edilir. Önceki paragrafla bağlantılı olarak, rastgele vektörün (X1, …, Xd) asimptotik olarak bağımsız olduğunu elde ederiz.
- lim P [Fi (Xi)> 1 – s | Fj (Xj)> 1 – s] = 0, 1 ≤ i <j ≤ d. (8.100) s ↓ 0
Çiftin (Xi, Xj), yani Cij (ui, uj) = P [Fi (Xi) ≤ ui, Fj (Xj) ≤ uj] kopulası Cij açısından, asimptotik bağımsızlık şu şekilde yazılabilir:
- Cij (1 – s, 1 – s) = 1 – 2s + o (s), s ↓ 0; 1 ≤ i <j ≤ d.
Takahashi (1994) ayrıca asimptotik bağımsızlığın bir anda ortaya çıktığını gösterdi.
- ∃v∈ (0, ∞): lims − 1D (sv) = v1 + ··· + vd. (8.101) s ↓ 0
(8.101) ‘in gerekliliği (8.99)’ dan gelir. Ancak (8.101) da yeterlidir: Eşitsizliklerden şu (8.101) − 1Dij (svi, svj) → vi + vj ass ↓ 0forall1≤i <j ≤ d, dolayısıyla (ikili) asimptotik bağımsızlık ortaya çıkar.
Non parametrik testleri gerektiren durumlar
Doğrusal olasılık modeli örnekleri
Durbin-Watson testi
parametrik ve nonparametrik testler – pdf
Doğrusal olasılık modeli için yapılan eleştiriler
Parametrik ve Nonparametrik testler örnekleri
Doğrusal olasılık Modeli yorumlama
Parametrik olmayan testler
Asimptotik Tam Bağımlılık
Bir anlamda asemptotik bağımsızlık durumunun tersine, eğer CF tamamen bağımlı copulaaslimit, yani CG (u) = u1∧ ··· ∧ ile karşılaşırsa (8.79) ud foru∈ [0,1] d olur.
Örnek (8.88) ‘de tanımlanan kuyruk bağımlılık fonksiyonu D = DF, asimptotik tam bağımlılık şu şekilde yazılabilir:
- lim s − 1D (sv) = v1 ∨ · · · ∨ vb, v ∈ [0, ∞), s ↓ 0
Ek olarak F’nin her bir marjinal dağılımı Fj, bir uç değer dağılımının Gj etki alanı çekimindeyse, o zaman F, G (x) = G1 (x1) tarafından verilen G uç değer dağılımının çekim alanı içindedir ∧ · · · ∧ Gd (xd).
Takahashi (1994), asimptotik tam bağımlılığını şı şekilde ifade eder;
- ∃0 <w <∞: lims − 1D (sw, ···, sw) = w. (8.102) s ↓ 0
Yukarıdaki koşulun gerçekten yeterli olduğunu görmek için v ∈ [0, ∞) \ {0} alın ve v = v1∨ ··· ∨vd> 0 olarak ayarlayın.
- v ≤ s − 1D (sv) ≤ s − 1D (sv, ···, sv)
- = (h / a) (sv / w) −1D {(sv / w) w,. . . , (sv / w) w}.
Sağ taraf v’ye yakınsadığı için, aslında s − 1D (sv) → v’yi s ↓ 0 olarak elde ederiz. Ayrıca, ikili asimptotik tam bağımlılık, asimptotik tam bağımlılığı ifade eder: İkili durum
- s − 1P [Fj (Xj)> 1 − s≥Fi (Xi)] → 0 olarak
- s ↓ 0 tüm 1 ≤ i <j ≤ d için ve dolayısıyla 1 ≤ s − 1D (s, …, s)
- P [F1 (X1)> 1 – s] +
- P [Fj (Xj)> 1 – s ≥ F1 (X1)] → 1,
(8.102) ile asimptotik tam bağımlılığı zorlar.
Ek Konular
Metnin ana bölümüne giremeyen bazı konuları bir sonraki yazıda tek tek ele alarak topluyoruz.
Doğrusal olasılık modeli için yapılan eleştiriler Doğrusal olasılık modeli örnekleri Doğrusal olasılık Modeli yorumlama Durbin-Watson testi Non parametrik testleri gerektiren durumlar Parametrik olmayan testler parametrik ve nonparametrik testler - pdf Parametrik ve Nonparametrik testler örnekleri