Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (9) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Olası Sınırlar
Aşağıda, Sn toplamını maksimum Xn, n = max {X1, X2 …, Xn} ile değiştireceğiz.
Elbette, maksimumdan çok minimuma da çalışabiliriz. Açıkçası, ikisinden biri için sonuçlar, ilişki yoluyla hemen diğerine aktarılabilir.
- X1, n = −maks {−X1, −X2, …, – Xn}.
Maksimum Xn, n’nin olası limit dağılımlarını bulmanın olasılık problemini dikkate almak doğaldır. Bu nedenle, aşırı değer teorisinde ortaya konan ana matematik problemi, bir sayı dizisinin mevcut olduğu X dağılımlarının araştırılmasıyla ilgilidir {bn; n ≥ 1} ve bir dizi pozitif sayılar {an; n ≥ 1} öyle ki tüm gerçek değerler x için (sınırın sürekli olduğu) n → ∞ olarak belirlenir.
Bn ve an ile standardizasyon doğal görünüyor, çünkü aksi halde Xn, n → x ∗ a.s. G sınırının dejenere olmayan bir dağılım olması gerekir; gerçekte herhangi bir sayı, temeldeki dağılım ne olursa olsun (Xn, n – an) / bn’nin dejenere sınırı olarak görünebilir.
Yine, sorun iki yönlüdür:
(i) (2.1) ‘de bir sınır olarak görünebilecek tüm olası (dejenere olmayan) G dağılımlarını bulun;
(ii) dizilerin mevcut olduğu F dağılımlarını karakterize edin {an; n ≥ 1} ve {bn; n ≥ 1} öyle ki (2.1) böyle herhangi bir özel limit dağılımı için geçerlidir.
İlk problem (aşırı) limit problemidir. Fisher ve Tippett (1928), Gnedenko (1943) ile çözülmüş ve daha sonra de Haan (1970) tarafından yeniden canlandırılıp düzenlenmiştir. Olası tüm sınır yasalarının genel biçimini bir kez elde ettikten sonra, çekim alanı sorunu olarak adlandırılan sorunun ikinci bölümünü çözmemiz gerekir. Bu, aşağıdaki şekilde daha açık bir şekilde açıklanabilir.
G’nin a − 1 (X – b) dizisi için olası bir limit dağılımı olduğunu varsayalım. Kesin olarak dağıtım işlevi G’yi sınırlamak için X’in dağılımında gerekli ve yeterli koşullar nelerdir? Genel ve özel örnekler, farklı sınırlara çekilen dağılım çeşitlerini kolayca gösterebilir. Bu tür dağılımlar kümesi G’nin çekim alanı olarak adlandırılacak ve genellikle D (G) ile gösterilecektir.
Aşırı matematiksel bir muameleden kaçınmaya çalışarak, yukarıdaki problemi tam bir genelliği içinde çözmeyeceğiz. Daha ziyade, temeldeki dağıtımın sürekli, kesin olarak artan bir dağıtım işlevi F’ye sahip olduğu varsayımıyla çalışan bu soruna doğrudan ve kısmi bir yaklaşım sunuyoruz.
Merkezi limit probleminin tersine, normal dağılım, maksimum dağılımında gözlemlenen doğal çarpıklık nedeniyle sınırlayıcı bir dağılım olarak görünmez. Bu bölümde, tüm uç değer dağılımları aşağıdaki gibidir;
- Gγ (x) = exp− (1 + γx) −1 / γ, 1 + γx> 0,
γ ∈ R, (2.1) ‘de limitler olarak ortaya çıkabilir. Gerçek miktar γ, aşırı değer endeksi (EVI) olarak adlandırılır. Ekstrem değer analizinin tamamında anahtar bir niceliktir.
Bu genel sınır problemini aşırılıklar için çözmek için, olasılık teorisinden klasik bir kavrama güveniyoruz. {Yn} ‘nin rastgele değişkenler dizisi olduğunu varsayalım. Daha sonra, Yn’nin dağılım fonksiyonu noktasal olarak Y’nin dağılım fonksiyonuna yakınsarsa, en azından ikincisinin sürekli olduğu tüm noktalarda Yn’nin dağılımda yakınsadığını veya zayıf bir şekilde Y’ye yakınlaştığını söylüyoruz.
Yn → D Y yazıyoruz. Olasılık teorisinde, karakteristik fonksiyonların karşılık gelen yakınsamasına bakarak genellikle zayıf yakınsaklık ispatlanır. Bununla birlikte, amaçlarımız için, olasılık teorisinden iyi bilinen başka bir sonuca, yani Helly-Bray teoremine güveneceğiz, bkz. Billingsley (1995). Bu sonuç, dağılımdaki yakınsamayı beklentilerin yakınsamasına aktarır.
Kareli Ortalama
İstatistiğin Temel Kavramları
Kritik değer hesaplama
İstatistik sembolleri
Sınıf orta değeri nedir
Online istatistik hesaplama
Medyan Nedir
İstatistik alt sınır üst sınır nasıl bulunur
Teorem 2.1 Yn dağıtım fonksiyonu Fn olsun ve Y dağılım fonksiyonu F olsun. Sonra Yn → D Y iff tüm reel, sınırlı ve sürekli fonksiyonlar için z, E (z (Yn)) → E (z (Y)) olur.
Örneğin, rastgele değişken Y dejenere ise, {Yn} dizisi büyük sayıların zayıf bir yasasını karşılar. Alternatif olarak, Helly-Bray teoremi ile Yn → D Y sabitinde dejenere olur c, iff E (z (Yn)) → z (c). Daha sonra Yn ⇒P c yazacağız. Normalleştirilmiş maksimumlar durumunda, limit kanunları önemli parametre γ’ye bağlı olacaktır. Bu nedenle, bu parametreyi gösterime dahil ediyoruz.
Öyleyse, Y: = a − 1 (X −b) ve Y = Y. Y → D Y iffforallreal, nnn, nnγ nγ sınırlı ve sürekli fonksiyonlar;
- E z i (Xn, n − bn) asn → ∞ Gγ (v): = P (Yγ ≤v).
Yukarıdaki denklik fikri, dağıtımdaki yakınsamanın, yeterince geniş bir fonksiyon sınıfı z için beklentilerin yakınsamasına dönüştürülebileceğidir. Bazı ara adımlar, tüm aşırı uçlar teorisi için çok önemli olduğundan, aşırı değer yasalarının türetilmesinden geçiyoruz. Bu nedenle, z yukarıdaki gibi, F’nin etki alanı üzerinde gerçek, sınırlı ve sürekli bir fonksiyon olsun. İlk önce şunu unutmayın;
- n i = 1 P (Xn, n ≤ x) = P (∩ni = 1 (Xi ≤ x)) P (Xi ≤ x) = Fn (x).
Bu nedenle;
- E z i − 1 (X −b) olur.
F dağıtımının alanını gerçek destek aralığı ile sınırlayabiliriz. Bu, sol sınır ∗ x: = sup {x: F (x) = 0} ve sağ sınır x ∗: = inf {x: F (x) = 1} ile belirlenir. Bu önemli olmadığı sürece, bu uç noktaları açıkça belirtmeyeceğiz.
F’nin sürekli olması gerektiğini hatırlayın. Bu nedenle, F (x) = 1 – v ayarlayabiliriz. Bu denklemi x için çözüyoruz. Çözüm ters n ← fonksiyonu F (y) = inf {x: F (x) ≥ y} cinsinden ifade edilebilir, ki bu tabii ki kuantil fonksiyon Q (y) veya kuyruk kuantil fonksiyonu U (y ) = F ← 1 – 1. Çoğu zaman, reçeteyi kullanacağız.
Özellikle, x = U (1) ve x ∗ = U (∞) olduğunu, U ise [1, ∞) aralığında azalmadığına dikkat edin. Yukarıdaki integral bu nedenle eşittir.
Şimdi n → ∞ olarak 1 – v n − 1 → e − v olduğunu ve n integralinin aralığı pozitif yarı doğruyu uzatırken gözlemleyin. Altta yatan dağılımın öğelerini hala bulduğumuz tek yer, z’nin argümanındadır. Bu nedenle, bir a, n dizisi için bir − 1 (U (n / v) −b) yakınsak yapabildiğimizde, E z a − 1 (X – b) for için bir limit elde edilebileceği sonucuna varıyoruz. hepsi pozitif v. v = 1’i düşünmek doğal görünüyor, bu da bn = U (n) ‘nun uygun bir seçim olduğunu gösteriyor. Bundan sonraki her şey için empoze edilecek ve hayati öneme sahip olan doğal koşul, bir pozitif fonksiyon a ve herhangi bir u> 0 için,
- lim {U (xu) −U (x)} / a (x) =: h (u) olur.
Burada h limit fonksiyonu ile sıfıra eşit değildir.
İstatistiğin Temel Kavramları İstatistik alt sınır üst sınır nasıl bulunur İstatistik sembolleri Kareli Ortalama Kritik değer hesaplama Medyan Nedir Online istatistik hesaplama Sınıf orta değeri nedir