Genelleştirilmiş İki Değişkenli Poisson Dağılımları – İstatistik Alanları- İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik – İstatistik Yaptırma

Genelleştirilmiş İki Değişkenli Dağılımlar

Yukarıdaki fikir iki değişkenli duruma genişletilebilir. Genel bir ortamda, “genelleme” nin en az iki yolu vardır.

(i) G {s) orijinal Fi dağıtımının pgf’si ve 7r (5, t) F2’nin iki değişkenli dağılımının ortak pgf’si olsun. Daha sonra, s G’nin 7r (5, t) ile değiştirilmesiyle genelleştirilmiş iki değişkenli bir dağılım elde edilebilir.

• g {s, t) = G {7r {s, t)

(ii) G (5, t) iki değişkenli bir Fi dağılımının orijinal pgf’si olsun. G’nin s ve t bağımsız değişkenlerini sırasıyla tek değişkenli pgf’nin 7ri {s) ve 7r2 (<) ile değiştirin, böylece elde edilen genelleştirilmiş dağılım pgf’ye sahip olur

• g {s, t) = G {7ri {s), n2 {t)). (3.27)

(iii) Üçüncü yol, üç değişkenli indirgeme tekniğinin “genelleştirilmiş” yöntemle birleştirilmesiyle elde edilebilir. Xi genelleştiricisinin pgf’si T ve Gi, Xi ^ i = 1,2,3’ü genelleyen dağılımın pgf’si olsun. (X, Y) = {Xi + Xs, X2 + X3) olsun. Daha sonra ortaya çıkan (X, Y) ‘nin iki değişkenli iki değişkenli dağılımı şu şekilde verilir:

• g {s, t) = Gii7ri {s)) G2 {7r2 {t)) Gs {7rs {st)), (3.28)

Genelleştirilmiş İki Değişkenli Poisson Dağılımları

(i) İki değişkenli Neyman tip A dağılımları

Holgate (1966) üç tür iki değişkenli Neyman A dağıtımı oluşturmuştur.

Tip I: Bu, (3.26) ‘ya karşılık gelir; G, bir Poisson’un pgf’si ve 7r (5, t), iki değişkenli Poisson’un pgf’si

• 7r (5, t) = exp {Ai (s – 1) + X2 {t – 1) + Xsist – 1)}. (3.29)

Tip II: Bu, (3.27) ‘ye karşılık gelir; burada G, (3.29) ve 7ri (5) = exp {(j) i {s – 1)} ve 7r2 (t) = exp {02 tarafından verilen iki değişkenli Poisson’un pgf’sidir. (t – 1)}

Tip III: Bu, üç değişkenli indirim yöntemi ile elde edilir, öyle ki
X = Xi + Xs ve Y = X2 + X3 burada X ^ (i = 1, 2,3) bağımsız Neyman A dağılımlarıdır. Alternatif olarak, Gi {s) = exp {Ai (5 – 1)} ve 7ri {s) = exp {(/) ^ (5 – 1)} olsun. (3.28) uygulayarak bu dağılımı elde ederiz.

(ii) İki değişkenli Poisson binom dağılımları

Charalambides ve Papageorgiou (1981a) da “genelleştirilmiş” yönteme dayalı olarak üç tür iki değişkenli Poisson binom dağılımını türetmişlerdir.

istatistik : poisson dağılımı örnekleri
Poisson dağılımı formülü
İstatistik : Binom Dağılımı soruları
Poisson dağılımı PDF
Binom dağılımı
Poisson dağılımı Özellikleri
Hipergeometrik dağılım
Bernoulli dağılımı

Genelleştirilmiş İki Değişkenli Genel Binom Dağılımları

Charalambides ve Papageorgiou (1981b) tarafından üç tür iki değişkenli genelleştirilmiş genel iki terimli türetilmiştir.

 Kanonik Korelasyon Katsayıları ve Yarıgruplar

Çapraz genişleme

İki değişkenli bir dağılımın köşegen genişlemesi, onu şu şekilde temsil etmeyi içerir:

• dH {x, y) = dF {x) dG {y) Y, PMx) Vj {y).

^ i ve r] i kanonik değişkenler ve pi kanonik korelasyonlar olarak bilinirler.

X ve Y, tüm mertebelerin sonlu momentlerine sahip olduğunda, birimdik çok nomal kümeler {Pn} ve {Qn} F ve G’ye göre inşa edilebilir; örneğin, iki terimli marjinaller için Krawtchouk polinomları, negatif iki terimli marjinaller için Meixner polinomları ve Poisson marjinalleri için Poisson-Charlier polinomlarıdır.

O halde H, F ve G ve bunların ilgili ortonormal polinomları cinsinden köşegen ifadesine sahiptir.

Kanonik korelasyon katsayıları ve pozitif kesin dizi

Şimdi, X ve Y’nin iki değiştirilebilir değişken olduğunu varsayalım, böylece iki set ortonormal polinom {Pn} ve {Qn} özdeş olsun. Tüm M (tamsayı), tüm MX = 0,1,2, … ve tüm gerçek sayı dizileri {an}, Y ^ CLnQni ise {Qn} ‘ye göre bir {tn} dizisinin pozitif tanımlı olduğu söylenir ^), n = 0 M Yl (^ ntnQni ^) ‘olduğunu ima eder (Burada = 1 olduğunu varsayıyoruz)

Sonlu ayrık iki değişkenli dağılımlar için, Eagleson (1969) her kanonik dizinin {pn ‘- Y Pi <^ pozitif tanımlı bir dizi olduğunu gösterdi. GriflBths i = 0 (1970), X desteğinin sınırsız olduğu duruma ilişkin sonucu üretti.

Moment dizisi ve kanonik korelasyon katsayısı

Bir {bn} dizisinin, bazı dağıtım fonksiyonları G için bn = J t ^ dG {t) olarak ifade edilebiliyorsa, bir moment dizisi olduğu söylenir. Yine, X desteğinin sınırsız ve X ve Y’nin değiştirilebilir olduğunu varsayalım. Tyan ve Thomas (1975), kanonik korelasyon katsayılarının her dizisinin [0, 1] veya [-1,1] üzerindeki bir moment dizisi olduğunu gösterdi. X negatif değilse, moment dizisi [0, 1] ‘de tanımlanır.

Tersine, eğer {p ^ = p ^} bir kanonik korelasyon katsayıları dizisi ise, her moment dizisinin bir kanonik korelasyon katsayıları dizisi olduğunu göstermek kolaydır. İki terimli ve Poisson için, {p ^} dizisi gerçekten de kanonik korelasyon katsayıları dizisidir.

Kanonik diziler aracılığıyla iki değişkenli dağılımların yapıları

C kanonik korelasyon katsayılarının tüm dizilerinin kümesini göstersin.

• C’nin dışbükey olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla, {a ^} ve {bn} kanonik korelasyon katsayılarının iki dizisiyse, {pn = Aa7i + (1 —A) & ri} aynı zamanda aynı kümeye sahip yeni bir iki değişkenli dağılım için bir kanonik korelasyon katsayıları dizisidir. marjinaller.
Pozitif tanımlı diziler terimsel çarpma altında kapatıldığından, C terimsel çarpmaya göre bir yarı grup oluşturur.

Sonlu ayrık dağıtım için bu sonuç Vere-Jones (1971) tarafından kanıtlanmıştır. Vere-Jones’un sonucu, sınırsız destekle duruma kolayca genelleştirilebilir. Diğer bir deyişle, {pn = cbn ^ n}, eğer {an} ve {bn} ise, kanonik korelasyon katsayıları dizisidir. Bu şekilde, çok sayıda iki değişkenli dağılım inşa edilebilir.

Kaza Modellerinden İki Değişkenli Dağılımlar

Bölüm 20.3 ve Bölüm 21’de Hutchinson ve Lai (1990), aynı trafik kazasında yaralanmanın ciddiyetinin iki kişiye ortak dağılımını ele almıştır. Ortak değişkenler yöntemiyle oluşturulan iki değişkenli normal dağılımın bu tür yaralanmaları modellemek için kullanılabileceği bulundu. Burada, yaralanma miktarından çok yaralanmalı kazaların sayısı ile ilgileniyoruz.

X’in belirli bir otoyol şeridindeki yaralanmalı kazaların sayısını, Zi ise i ^^ kazadaki ölümlerin sayısını, i = l, 2, …, X’i göstersin. Ayrıca Y, X kazaları arasında kaydedilen toplam ölüm sayısını göstersin. Başka bir deyişle, onları aşağıdaki şekilde temsil edebiliriz:

• Y = Zi + Z2 + ‘”+ Zx

İlgi konusu, X ve Y’nin ortak dağılımını bulmaktır. Şimdiye kadar tartıştığımız iki değişkenli dağılımların aksine, iki marjinal genel olarak farklı tipte tek değişkenli dağılımlardır.

Edwards ve Gurland’ın (1961) kaza verilerini modellemek için ayrı bir iki değişkenli dağılım (yani iki değişkenli negatif iki terimli) kullanmadaki öncü çalışmasını takiben, Leiter ve Hamdan (1973), Cacoullos ve Papageorgiou (1980, 1982) ve diğerleri birkaç model geliştirdi. (3.32) ‘de belirtildiği gibi (X, y) ortak dağılımını temsil eder.