İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (11) – Normal Bir Olasılık Örneği – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Bu t değeri, boş hipotezi reddedecek kadar büyük değil (Kerry’nin oy oranının 0,5’ten az olduğu) ve dolayısıyla ulaşacağımız sonuç aynı: Kerry’nin kazanacağı sonucuna varmak için yeterli kanıtımız yok.
Bu sonucun bu bölümün başında belirttiğim sonuçla tutarlı olduğuna dikkat edin: Orijinal anketin sonuçları, ±% 3 hata payı göz önüne alındığında, oylamanın çağrılamayacak kadar yakın olduğunu gösteriyordu. Burada, esasen bu hata payının nereden kaynaklandığını gösterdim. Orijinal anketteki hata payına yaklaşık olarak eşit olan 0,0294 hata payı elde ettik.
Normal Bir Olasılık Örneği
Normal dağılım bu kitapta ve sosyal bilimlerde tekrar tekrar kullanıldığından, bu bölümü normal bir dağılım problemi için parametre tahminleri ve standart hataları türeterek bitiriyorum. Bu örneği genel düzeyde tutuyorum; sonraki bölümlerde, belirli problemler ve verilerle bu olasılık fonksiyonuna döneceğiz.
Normal olarak dağıtıldığını varsaydığın x1, x2, …, xn n gözleminiz olduğunu varsayalım. Bir kez daha, gözlemlerin bağımsız olduğu varsayılırsa, bir olasılık fonksiyonu, bağımsız normal yoğunluk fonksiyonlarının katları olarak inşa edilebilir:
L (μ, σ | X) = √2πσ2 exp – 2σ2.
Olasılığı şu şekilde basitleştirebiliriz:
L (μ, σ | X) = (2πσ2) −n exp – 1 (x −μ) 2.
Olasılığın günlüğü:
LL (μ, σ | X) ∝ −n ln (σ) – 2σ2 (xi – μ) 2.
Yukarıdaki denklemde ilgisiz bir sabit olan −nln (2π) ‘yi eledim. Alakasızdır, çünkü her iki parametreye de bağlı değildir ve bu nedenle kısmi türevler alındığında düşecektir. Bu örnekte, μ ve σ olmak üzere iki parametremiz var ve bu nedenle her parametreye göre ilk kısmi türev alınmalıdır. Bu bize iki denklem bırakacaktır (her parametre için bir tane). Her bir parametreye göre kısmi türevleri aldıktan sonra, aşağıdakileri elde ederiz:
∂ L L = n (x ̄ – μ) / ∂μ σ2
∂LL n 1 / σ = −σ + σ3. (xi − μ) 2.
Bu kısmi türevlerin her birini 0’a eşitlemek ve biraz cebir yapmak:
μˆ = x ̄
n (xi − μ) 2 ben = 1 / n (2. 4 0)
Bu tahmin ediciler tanıdık gelmelidir: Popülasyon ortalaması için MLE, örnek ortalamadır; popülasyon varyansı için MLE, örnek varyansıdır. Ortalama ve standart sapma için tahminlerdeki değişkenliğin tahminleri, iki terimli örnekte yaptığımız gibi elde edilebilir.
Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, iki parametremiz olduğu düşünüldüğünde, ikinci türev matrisimiz aslında bir matris olacaktır. Sonuna kadar karekök almaktan kaçınmak için, τ = σ2 olsun ve Hessian matrisini τ cinsinden oluşturalım. Ayrıca, θ hem μ hem de τ içeren bir vektör olsun. Bu nedenle şunları hesaplamalıyız:
Tüm türevleri göstermeden (bkz. Alıştırmalar), Hessian matrisinin öğeleri şu şekildedir:
Standart hataları hesaplamakta kullanılabilecek bilgi matrisini elde etmek için bu Hessian matrisinin beklentisini almalı ve negatifini almalıyız. Önce köşegen dışı elemanların beklentisini ele alalım. X ̄ – μ beklentisi 0’dır (MLE’nin tarafsız olduğu göz önüne alındığında), bu da bilgi matrisinin köşegen dışı elemanlarını 0’a eşit yapar.
İlk eleman (−n / τ), beklenti altında değişmez. Böylece, σ2’yi τ yerine geri koyduktan ve sonucu olumsuzladıktan sonra, bilgi matrisinin bu elemanı için n / σ2 elde ederiz.
Son eleman, (n / 2τ2) – (i = 1 (xi – μ) 2) / τ3, biraz düşünmeyi gerektirir. Bu ifadenin beklenti altında değişen tek kısmı ni = 1 (xi – μ) 2’dir. Bu ifadenin beklentisi nτ’dır. Yani, E (xi – μ) 2 = τ ve bu değeri n kez alıyoruz (toplama dikkat edin). Böylece, küçük bir cebirsel işlemden, olumsuzlamadan ve τ yerine σ2’nin ikamesinden sonra bu eleman şu hale gelir: n / 2σ4. Dolayısıyla, bilgi matrisimiz şu şekilde görünür:
en (θ) = n / 0
Standart hataları elde etmek için, (1) bu matrisi tersine çevirmemiz ve (2) standart hataları elde etmek için köşegen elemanların (varyanslar) karekökünü almamız gerekir. Bu durumda matris ters çevirme, köşegen dışı elemanların 0’a eşit olduğu göz önüne alındığında oldukça basittir. Bu durumda, matrisin tersi, köşegen elemanların tersidir.
Bilgi matrisinin elemanlarını tersine çevirdikten ve karekök haline getirdikten sonra, tahminimiz μˆ için standart hata için tahmininin σˆ / n olduğunu ve σˆ2 için standart hata tahminimizin σˆ22 / n olduğunu buluruz. Μˆ için standart hata tahmini tanıdık gelmelidir: Bu, Merkezi Limit Teoremine dayalı bir ortalama için örnekleme dağılımının standart sapmasıdır.
Sonuçlar
Bu bölümde, olasılık teorisinin temellerini gözden geçirdik. Önemlisi, genel olarak olasılık dağılımları kavramını geliştirdik ve bir dizi gerçek olasılık dağılımını tartıştık. Ek olarak, ortalama ve varyans gibi önemli niceliklerin olasılık dağılımlarından analitik olarak nasıl türetilebileceğini tartıştık. Son olarak, belirli bir dağılımdan ortaya çıktığı düşünülen bir veri koleksiyonu göz önüne alındığında, klasik bir ortamda bu tür miktarları tahmin etmeye yönelik en yaygın yaklaşımı – maksimum olasılık tahmini – gözden geçirdik.
Daha önce belirtildiği gibi, olasılık teorisine daha kapsamlı bir giriş için De-Groot’u (1986) okumanızı ve daha gelişmiş ve ayrıntılı açıklamalar için Billingsley (1995) ve Chung ve AitSahlia’yı (2003) tavsiye ederim. Yoğunlaştırılmış bir açıklama için Rudas 2004’ü öneriyorum. Son olarak, maksimum olasılık (ML) tahmininin tarihi ve pratiğine ilişkin ayrıntılı tartışmalar için Edwards (1992) ve Gill’i (2002) tavsiye ediyorum ve bir Makine öğrenimi tahmini üzerine oldukça uygulamalı bir bakış açısı. Bir sonraki bölümde, model oluşturma ve tahminde bu klasik yaklaşıma alternatif olarak Bayesci istatistik yaklaşımını tartışacağız.
Olasılık Egzersizleri
1. Denklem 2.8’deki doğrusal yoğunluk için normalleştirme sabitini bulun.
2. Binom kütle fonksiyonunu kullanarak, adil bir bozuk para ile arka arkaya 3 tura çıkma olasılığını bulun.
3. Bir tura çıkma olasılığının 0,7 olacağı şekilde, bozuk para ağırlıklı bir sırada 3 tura çıkma olasılığını bulun.
4. Adil bir yazı tura ile arka arkaya 3 tura VEYA 3 yazı elde etme olasılığı nedir?
5. Adil bir madalyonun dört çevirmesinde 3 kafa ve 1 kuyruk (sıra ilgisiz) elde etme olasılığı nedir?
6. Binom dağılımına normal bir yaklaşım kullanarak, adil bir madeni paranın 200 çevirmesinde 130 veya daha fazla tura ulaşma olasılığını bulun.
7. μ = 5 ve σ = 2 parametreleriyle normal bir dağılım çizin.
8. μ = 2 ve σ = 5 parametreleriyle normal bir dağılım çizin.
9. t (0,1, df = 1) ve t (0,1, df = 10) dağılımlarını çizin. Not: Γ bir
işlevi. Fonksiyon şudur: Γ (n) = ∞ e − u un − 1 du. Tam sayılar için, Γ (n) = 0
(n – 1)! Böylece, Γ (4) = (4-1)! = 6. Bununla birlikte, fonksiyonun argümanı bir tamsayı olmadığında, bu formül çalışmayacaktır. Bunun yerine, sizin için işlev değerini hesaplamak için bir yazılım paketi kullanmak daha kolaydır.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
boş hipotezi reddedecek kadar büyük değil İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (11) – Normal Bir Olasılık Örneği – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma Normal Bir Olasılık Normal Bir Olasılık Örneği Normal olarak dağıtıldığını varsaydığı Olasılık Egzersizleri