İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (12) – Bayesian İstatistiklerinin Temelleri – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Bayesian İstatistiklerinin Temelleri
Bir kadının tek bir ilişkiden sonra hamile olabileceğine inandığını, ancak emin olmadığını varsayalım. Bu nedenle,% 90 doğruluğu bilinen bir gebelik testi yapıyor, yani pozitif vakalara% 90 oranında pozitif sonuçlar veriyor -ve test pozitif bir sonuç veriyor.
Nihayetinde, olma olasılığını bilmek istiyor pozitif test yapılmış hamile (p (preg | test +)); ancak bildiği şey hamile ise pozitif test sonucu alma olasılığıdır (p (test + | preg)) ve testin sonucunu biliyor.
Benzer bir problemde, 30 yaşındaki bir erkeğin prostat kanseri belirteci (PSA) için pozitif kan testi olduğunu varsayalım. Bu testin de yaklaşık olarak% 90 doğru olduğunu varsayalım. Bir kez daha, bu durumda, kişi pozitif test verildiğinde prostat kanseri olma olasılığını bilmek ister, ancak eldeki bilgi, prostat kanseri varsa pozitif test etme olasılığı ve bununla birlikte pozitif test edildi.
Bayes Teoremi, koşullu olasılıkları tersine çevirmek için bir yol sunar ve bu nedenle, bu soruları yanıtlamanın bir yolunu sağlar. Bu bölümde, önce Bayes Teoreminin bu soruları cevaplamak için nasıl uygulanabileceğini gösteriyorum, ancak daha sonra tartışmayı sosyal bilimcilerin yaygın olarak sorduğu soru türlerini cevaplamak için olasılık dağılımlarına nasıl uygulanabileceğini göstermek için tartışmayı genişletiyorum. Bunun için önceki bölümde anlatılan yoklama verilerine dönüyorum.
Bayes Teoremi Nokta Olasılıkları
Bayes’in orijinal teoremi nokta olasılıklarına uygulanmıştır. Temel teorem basitçe şunu belirtir:
p (B | A) = p (A | B) p (B) / p (A)
İngilizcede teorem, A olayında verilen B olayının koşullu olasılığının, B olayının B olayının marjinal olasılığıyla çarpılması ve A olayının marjinal olasılıkla bölünmesiyle A olayının koşullu olasılığına eşit olduğunu söyler.
İspat: Bölüm 2’de sunulan olasılık kurallarından, p (A, B) = p (A | B) p (B) olduğunu biliyoruz. Benzer şekilde p (B, A) = p (B | A) p (A) diyebiliriz. Açıkçası, p (A, B) = p (B, A), dolayısıyla bu denklemlerin her birinin sağ taraflarını birbirine eşitleyerek şunu elde edebiliriz:
p (B | A) p (A) = p (A | B) p (B).
Her iki tarafı p (A) ile bölmek bizi Denklem 3.1 ile bırakır.
Denklem 3.1’in sol tarafı, içinde bulunduğumuz koşullu olasılıktır.
Sağ taraf üç bileşenden oluşur. p (A | B), tersine çevirmek istediğimiz koşullu olasılıktır. p (B), ilgilenilen olayın koşulsuz (marjinal) olasılığıdır. Son olarak, p (A), A olayının marjinal olasılığıdır. Bu miktar, örnek uzayındaki tüm olası Bi olayları altında A’nın koşullu olasılığının toplamı olarak hesaplanır: Kadın ya hamile ya da değildir. Ayrık bir örnek uzay için matematiksel olarak ifade edilir:
p (A) = p (A | Bi) p (Bi).
Teoremi daha somut hale getirmek için hamilelik örneğine dönersek, varsayalım ki% 90 doğruluk oranına ek olarak, testin% 50 yanlış pozitif sonuçlar verdiğini de biliyoruz. Başka bir deyişle, bir kadının hamile olmadığı durumlarda% 50 oranında pozitif test yapacaktır. Bu nedenle, iki olası Bi olay vardır:
B1 = preg ve B2 = preg değil. Ek olarak, doğruluk ve yanlış pozitif oranları göz önüne alındığında, bu olaylar altında pozitif bir test elde etmenin koşullu olasılıklarını biliyoruz:
p (test + | preg) = .9 ve p (test + | preg değil) = .5.
Bayes teoremi, tek bir cinsel ilişkiden hamile kalma olasılığıyla ilgili bazı “önceki” bilgilerle birleştirilen bu bilgilerle, ilgilenme olasılığını belirlemek için bir reçete sağlar.
İhtiyaç duyduğumuz “önceki” bilgi, p (B) ≡ p (preg), kadının tek bir cinsel karşılaşma yaşamış olmasının ötesinde hiçbir şey bilmeden hamile kalmanın marjinal olasılığıdır. Bu bilgi, testten önce var olan ilgili bilgiler olduğundan önceki bilgi olarak kabul edilir. Önceki araştırmalardan, herhangi bir ek bilgi olmadan (örneğin, son adet döngüsü tarihi ile ilgili), herhangi bir tek cinsel karşılaşma için gebe kalma olasılığının yaklaşık% 15 olduğunu biliyor olabiliriz. (Benzer şekilde, prostat kanseri senaryosuyla ilgili olarak, 30 yaşındakiler için prostat kanseri insidans oranının .00001 olduğunu bilebiliriz – bkz. Egzersizler). Bu bilgilerle p (B | A) ≡ p (preg | test +) ‘i şu şekilde belirleyebiliriz:
p (preg | test +) = p (test + | preg) p (preg) / p (test + | preg) p (preg) + p (test + | preg değil) p (preg değil)
Bilinen bilgileri doldurma:
p (preg | test +) = (. 90) (. 15) / (.90) (. 15) + (.50) (. 85) = 135/35 + .425 = 241
Dolayısıyla, pozitif teste göre kadının hamile olma olasılığı sadece 0,241’dir. Bayesci terminolojiyi kullanarak, bu olasılığa “arka olasılık” denir, çünkü bu, verileri gözlemledikten sonra elde edilen tahmini hamile kalma olasılığıdır (pozitif test). % 90 “doğruluk” denen bir teste bakıldığında, son olasılık oldukça düşüktür ve bu şaşırtıcıdır.
Ancak, birkaç şey bu olasılığı etkiler. Birincisi, tek bir cinsel ilişkiden gebe kalma olasılığının nispeten düşük olmasıdır (.15). İkincisi, özellikle tek bir cinsel ilişkiden hamile kalmama olasılığının yüksek olduğu düşünüldüğünde (p = .85) yanlış pozitif testin son derece yüksek olasılığıdır.
Kadın testin sınırlamalarının farkındaysa testi tekrar etmeyi seçebilir. Artık “güncellenmiş” hamile olma olasılığını (p = .241) yeni p (B) olarak kullanabilir; yani, önceki hamile olma olasılığı artık ilk testin sonuçlarını yansıtacak şekilde güncellenmiştir. Testi tekrarlar ve yine pozitif bir sonuç görürse, yeni “posterior olasılık” gebe kalması:
p (preg | test +) = (.90) (. 241) / (.90) (. 241) + (.50) (. 759) = 135/135 + .425 = 364
Bu sonuç hala hamile olduğuna dair çok ikna edici bir kanıt değil, ancak testi tekrarlar ve pozitif bir sonuç bulursa, olasılığı .507’ye yükselir (genel ilgi için, sonraki pozitif testler aşağıdaki olasılıkları verir:
test 4 = .649, test 5 = .769, test 6 = .857, test 7 = .915, test 8 = .951, test 9 = .972, test 10 = .984).
Bu testi tekrarlama ve ilgi olasılığını yeniden hesaplama süreci, Bayes istatistiğinin temel ilgi sürecidir. Bayesçi bir perspektiften, bazı olaylar için önceden bazı olasılıklarla başlıyoruz ve bu önceki olasılığı yeni bilgilerle güncelleyerek bir arka olasılık elde ediyoruz.
Sonradan olasılık daha sonra bir sonraki analizde bir önceki olasılık olarak kullanılabilir. Bayesci bir bakış açısından, bu bilimsel araştırma yürütmek için uygun bir stratejidir: Belirli bir bilimsel hipotezi değerlendirmek için veri toplamaya devam ediyoruz; Bir hipotezi yanıtlamaya çalıştığımız her seferde yeniden başlamayız (cahilce), çünkü önceki araştırmalar bize hipotezin esasına ilişkin ön bilgi sağlar.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Bayes Teoremi Nokta Olasılıkları Bayesian İstatistiklerinin Temelleri Kadın testin sınırlamaları pozitif teste göre kadının hamile olma olasılığı Sonradan olasılık