İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (18) – Gama öncesi / Poisson olabilirlik yaklaşımı – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma —
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Şimdi hem μ hem de σ2 için önceden bir eklem belirtmemiz gerekiyor ve μ için yalnızca bir öncesinden değil. Μ ve σ2’nin bağımsız olduğunu varsayarsak – ve bu, önceki bölümde bahsettiğimiz gibi makul bir varsayımdır; iki parametrenin ilişkilendirilmesi için bir neden yoktur – o zaman p (μ, σ2) = p (μ) p (σ2) olarak düşünebilir ve her biri için ayrı önseller oluşturabiliriz.
Yukarıdaki örnekte, μ için öncekinin μ ∼ N (M, τ2) olduğunu belirledik, burada M önceki ortalama (70) ve τ2, μ cinsinden sahip olduğumuz belirsizliğin ölçüsüdür. Bununla birlikte, σ2 için bir önceki belirtmedik, ancak τ.7 hakkındaki bilgimizi güncellemek için σ2 kullandık.
Daha genel bir durumda μ ve σ2 için bir önceki dağılımı nasıl belirleyebiliriz? Önceki örnekten farklı olarak, genellikle bu parametreler hakkında önceden bilgi sahibi değiliz ve bu nedenle genellikle onlar için bilgilendirici olmayan önseller geliştirmek isteriz. Normal dağıtım probleminde bunu yapmanın birkaç yolu vardır, ancak en yaygın yaklaşımlardan ikisi aynı öncekine yol açar.
Bir yaklaşım, μ için gerçek çizginin önüne bir üniform ve log (σ2) için de öncekine aynı üniform atamaktır. Log (σ2) üzerinde bir eşitlik atarız, çünkü σ2 hiçbir gçlü miktar değildir ve log (σ2) ‘ye dönüşüm bu yeni parametreyi gerçek çizgi boyunca uzatır. Log (σ2) üzerindeki üniformayı σ2 için yoğunluğa dönüştürürsek, p (σ2) ∝ 1 / σ2.8 elde ederiz. Böylece, ön eklemimiz: p (μ, σ2) ∝ 1 / σ2’dir.
Bunu önceden elde etmenin ikinci bir yolu, μ ve σ2’ye uygun ön dağılımları vermektir (gerçek çizgi üzerinde düzgün olmayan, bu da yanlıştır). Μ ∼ N (M, τ2) varsayımıyla devam edersek, düz bir dağılım veren M ve τ2 değerlerini seçebiliriz. Örneğin, μ ∼ N (0,10000) kabul edersek, μ için çok düz bir önceliğimiz olur. İlk olarak varyans parametrelerinin ters bir gama dağılımını izlediğini belirterek (sonraki bölüme bakın) ve daha sonra bilgi vermeyen bir öncül üreten ters gama dağılımı için değerler seçerek σ2 için nispeten bilgisiz bir öncel seçebiliriz. Σ2 ∼ IG (a, b) ise, pdf şu şekilde görünür:
f (σ2 | a, b) ∝ (σ2) – (a + 1) e − β / (σ2).
Limitte, a ve b parametrelerinin 0’a yaklaşmasına izin verirsek, 1 / σ2 olarak bilgilendirici olmayan bir ön elde edilir. Açıkçası, eğer a ve b 0 ise dağılım yanlıştır, ancak her iki parametrenin de 0’a yaklaşmasına izin verebiliriz. O zaman bunu σ2 için öncülümüz olarak kullanabiliriz (yani, σ2 ∼ IG (0, 0); p (σ2) ∝ 1 / σ2). Μ ve σ için önceki dağıtım için bu seçime ulaşmanın başka yolları da var, ancak bunları burada ele almayacağız.
Bu parametreler için 1 / σ2’den önce bir eklem varsayarsak, μ ve σ2 için ortaya çıkan posterior şudur:
Bununla birlikte, önceki örnekten farklı olarak, bu, bir yerine iki parametre için ortak bir arka yoğunluktur. Yine de, önceki bölümde tartışılan genel olarak f (x | y) ∝ f (x, y) kuralı kullanarak her iki parametre için koşullu arka dağılımları belirleyebiliriz.
Μ için arka yoğunluk formunun belirlenmesi, önceki bölümde olduğu gibi aynı mantığı izler. Öncelikle ürünü tüm gözlemler üzerinden gerçekleştiriyoruz. Ardından, kuadratiği genişletir, μ’ye göre sabit olan terimleri ortadan kaldırır ve önce μ2 terimiyle terimleri yeniden düzenleriz. Bunu yapmak:
nμ2−2nx ̄μ / 2σ2 / n
Bu sonuç bize, tanıdık gelmesi gereken μ | X, σ2 ∼ N (x ̄, σ2), n için koşullu dağılımın olduğunu göstermektedir. Yani bu, klasik istatistikte Merkezi Limit Teoreminin x ̄ için örnekleme dağılımına ilişkin iddia ettiğine benzer bir sonuçtur.
Σ2’nin arka dağılımı ne olacak? Bu türetmeye yaklaşmanın en az iki yolu vardır. İlk olarak, σ2 | μ, X için koşullu dağılımı düşünebiliriz. Bu yaklaşımı alırsak, o zaman tekrar tam arka yoğunluk ile başlarız, ancak şimdi σ2’yi içeren tüm terimleri dikkate almalıyız. Çarpmayı arka yoğunlukta gerçekleştirir ve benzer terimleri birleştirirsek, elde ederiz:
f (μ, σ) ∝ 1 / (σ2) n / 2 + 1
Ters gama dağılımının yukarıdaki açıklamasına geri dönecek olursak, μ sabit kabul edilirse, σ2 için koşullu arka yoğunluğun a = n / 2 ve b = (xi – μ) 2 / parametreli ters gama olduğu açıktır. 2.
Bu soruna yaklaşmanın ikinci bir yolu, μ ve σ2 için eklem art yoğunluğunun koşullu olasılık kuralı kullanılarak çarpanlarına ayrılabileceğini düşünmektir:
f (μ, σ2 | X) = f (μ | σ2, X) f (σ2 | X).
Sağ taraftaki ilk terim, önceki örnekte zaten σ2’nin bilinen, sabit bir miktar olarak kabul edildiğini düşündük. İkinci terim ise, σ2 için marjinal arka yoğunluktur. Teknik olarak, bunun tam bir ifadesi, eklem arka yoğunluğunun μ (yani, f (μ, σ2) dμ.) Üzerine entegre edilmesiyle bulunabilir (bkz. Gelman ve diğerleri, 1995). Alternatif olarak, Denklem 3.4’ü çarpanlarına ayırarak orantılı bir ifade bulabiliriz.
Μ | σ2, X için dağılımın, ortalama x ̄ ve varyans σ2 / n olan normal bir yoğunluk ile orantılı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, bu terimi arkadan çarpanlara ayırırsak, geriye kalan σ2’nin marjinal yoğunluğu ile orantılıdır.
Posterioru çarpanlarına ayırmak için, önce ikinci dereceden tekrar genişletin:
1 / σ2) n / 2 + 1 = x2i −2nx ̄μ + nμ2 / 2σ2
Ardından, önce μ2 koymak için terimleri yeniden düzenleyin ve pay ve paydayı n’ye bölün. Bir kez daha, elde etmek için kareyi tamamlayın:
1 / (σ2) n / 2 + 1 = (μ − x ̄) 2 + x2i / n − x ̄2 / 2σ2 / n
Şimdi üstelin iki parçasını ayırarak şunu elde edebiliriz:
İlk terim, μ için koşullu posterior’dur. İkinci terim, σ2’nin marjinal arka yoğunluğu ile orantılıdır. Üsteldeki pay, örnek varyansının hesaplama versiyonu için paydır, (xi – x ̄) 2 ve bu nedenle, sonuç a = (n – 1) / 2 parametreleriyle ters gama dağılımı olarak tanınabilir ve b = (n – 1) var (x) / 2.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
bir eklem belirtmemiz Bir yaklaşım Gama öncesi / Poisson olabilirlik yaklaşımı İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (18) – Gama öncesi / Poisson olabilirlik yaklaşımı – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma — uygun ön dağılımları σ2'nin marjinal arka yoğunluğu