İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (23) – Bayesliler Ne İstiyor ve Neden İstiyor? – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma

On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.

Örneğin, en son anket verileri için iki terimli olasılıkla birlikte K için bir beta önceki dağıtım belirttiğimiz önceki bölümdeki oylama örneğini düşünün. Bu örnekte, K için arka yoğunluk, α = 1498 ve β = 1519 parametreli bir beta yoğunluğuydu. Beta yoğunluğunun bilinen bir yoğunluk olduğu göz önüne alındığında, arka ortalamayı 1498 / (1498 + 1519) = .497 olarak hesapladık, ve K> 5 olasılığı 351’dir.

Ancak, bu integrallerin analitik olarak hesaplanamayacağını varsayalım. Bu durumda, bu belirli beta yoğunluğundan (ilk argüman istenen sayıda örnek olacak şekilde, R’de x = rbeta (5000,1498,1519) kullanarak) birkaç bin çekilişi simüle edebiliriz ve sonra ortalamayı hesaplayabiliriz, medyan ve bu örnekten istenen diğer miktarlar. Bu simülasyonu yaptım ve 5.000 örnek için ortalama .496 (R’de ortalama (x) yazarak elde edildi) ve Kerry’nin kazanacağı olasılık 351 (toplam (x> .5) / 5000 yazarak elde edilir.

Analitik olarak elde edilen ortalamanın (arka yoğunluğun entegrasyonu yoluyla) ve örnekleme yoluyla elde edilen ortalamanın, Kerry’nin kazanacağı tahmini olasılıklar gibi, neredeyse üç ondalık basamakla aynı olduğuna dikkat edin. Bu tahminlerin birbirine yakın olmasının nedeni, sınırda örnekleme yöntemlerinin yaklaşık değerler olmamasıdır; bunun yerine entegrasyon yoluyla elde edilenlere eşdeğer kesin özetler sağlarlar. Bu beta dağılımından alınan 5.000’lik bir örnek, yoğunluğu doğru bir şekilde özetlemek için fazlasıyla yeterlidir.

Bir gösteri olarak, Şekil 4.1, örnek boyutu 1’den 100.000’e çıktıkça bu belirli beta dağılımı için örneklemle tahmin edilen ortalamanın yakınsamasını göstermektedir. N = 5, 000 boyutundaki örneklerde, ortalama etrafındaki güven bandı sadece yaklaşık olarak .0005 birim genişliğindedir. Başka bir deyişle, analitik entegrasyondan ziyade simülasyonu kullanmadaki hatamız son derece küçüktür. Örneklem büyüklüğü arttıkça simülasyon hatasının daha da azaldığını görebiliriz.

İki Temel Örnekleme Yöntemi

Yukarıda gösterilen örnekte, R’de basit bir komut kullanarak istenen beta yoğunluğundan numuneler elde etmek kolaydı. Birçok dağılım için, bunlardan simüle etmek için var olan etkili rutinler vardır (bunlardan bazıları nihayetinde aşağıda tartışılan ters çevirme yöntemine dayanmaktadır. ). Diğer dağıtımlar için, mevcut bir rutin olmayabilir ve bu nedenle, bir istatistikçinin bir tane oluşturması gerekebilir. Aslında, tartışacağımız üzere MCMC yöntemlerinin tüm nedeni budur:

Arka yoğunlukların entegrasyonu genellikle imkansızdır ve özellikle yüksek boyutlu olduklarında bunlardan örnekleme yapmak için mevcut rutinler olmayabilir. İlk olarak, her biri MCMC yöntemlerinin temel bir anlaşılması için önemli olan iki örnekleme yöntemini tartışacağım. Bu yöntemler ve diğerleri gibi, Gilks (1996) ‘da daha ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Simülasyon yöntemleriyle ilgili daha ayrıntılı bir açıklama için Ripley (1987) ‘e bakınız.

Örneklemenin Ters Çevirme Yöntemi

Tek değişkenli bir f (x) dağılımından bir örnek çizmek için, genellikle ters çevirme yöntemini kullanabiliriz. Ters çevirme yöntemi oldukça basittir ve iki adımı takip eder:

1. 0 ile 1 (bir U (0,1) rasgele değişken) arasında düzgün bir u rastgele sayı çizin.

2. O zaman z = F − 1 (u), f (x) ‘den bir çekiştir. 1. adımda, bir U (0,1) rasgele değişken çiziyoruz. Bu çekiliş, ilgi dağılımından istediğimiz rastgele çekiliş değerine kadar eğrinin altındaki alanı temsil eder. Bu nedenle, z’yi şu şekilde bulmalıyız:

u = f (x) dx,

burada L, yoğunluğun f alt sınırıdır. Başka bir deyişle, u = F (z). Yani, z açısından ifade edilir:

z = F − 1 (u).

Somut bir örnek vermek için, Bölüm 2’den doğrusal yoğunluk fonksiyonunu alın: f (x) = (1/40) (2x + 3) (0 <x <5). Bildiğim kadarıyla, bu yoğunluktan örneklemeye izin veren hiçbir rutin hali hazırda mevcut değildir ve bu nedenle, eğer biri bu yoğunluktan yararlanmaya ihtiyaç duyarsa, birinin geliştirmesi gerekir. Ters çevirme yöntemini kullanarak bu dağılımdan bir çekiliş oluşturmak için, önce u ∼ U (0, 1) çizmemiz ve ardından tatmin eden z’yi hesaplamamız gerekir.

u = 40 (2x + 3) dx.

Bu denklemi z için aşağıdaki gibi çözebiliriz. İlk önce integrali değerlendirin:

40u = x2 + 3x􏰍􏰍z0 = z2 + 3z.

İkinci olarak, kareyi z’de tamamlayın:

40u + 4 = z + 3z + 4 = z + 2.

Üçüncüsü, her iki tarafın karekökünü alın ve z’yi bulmak için yeniden düzenleyin:

z = −3 ± -160u + 9.

Bu sonuç z için iki çözüm ortaya koymaktadır; ancak, z’nin 0 ile 5 arasında olması gerektiği için, yalnızca pozitif kök ilişkilidir. 0 ve 1’i (u için minimum ve maksimum değerleri) değiştirirsek, z’nin olması gerektiği gibi [0, 5] olduğunu buluruz.

Şekil 4.2, ters çevirme yöntemini kullanarak bu yoğunluktan 1.000 rastgele çekmeyi simüle eden bir algoritmanın sonuçlarını göstermektedir. Sol taraftaki şekiller, U (0,1) yoğunluğundan gelen çekilişlerin sırasını gösterir, bunlar daha sonra ilgili yoğunluktan çekme dizisini oluşturmak için ters çevrilir. Şeklin sağ tarafı simüle edilmiş ve teorik yoğunluk fonksiyonlarını göstermektedir. Her iki yoğunluktaki örneklerin teorik yoğunlukları nasıl yakından takip ettiğine, ancak tam olarak eşleşmediğine dikkat edin. Bu hata, simülasyon örneklem boyutu arttıkça azalan örnekleme hatasıdır.

Bu çekimleri oluşturmak için aşağıdaki R programı kullanıldı. İlk satır U (0,1) dağılımından 1000 rastgele çekmeyi simüle eder; ikinci çizgi, u’nun tersi olarak z vektörünü üretir:

Örnekleme ters çevirme yöntemi için #R programı u = runif (1000, min = 0, max = 1) z = (1/2) * (-3 + sqrt (160 * u +9))

Ters çevirme yöntemi çok verimli ve uygulaması kolay olmasına rağmen, iki temel sınırlama, arka yoğunluklardan numune almak için genel bir yöntem olarak kullanılabilirliğini azaltır. Birincisi, ters fonksiyonun analitik olarak türetilmesi imkansızsa, açıkçası yöntem kullanılamaz. Örneğin, normal integral doğrudan çözülemez ve bu nedenle, ters çevirme yöntemi normal dağılımdan simüle etmek için kullanılamaz.

Bir dereceye kadar, bu problem şu soruyu soruyor: Yoğunluğu ters çevirme yönteminin gerektirdiği şekilde entegre edebilirsek, o zaman neden simülasyonla uğraşalım? Bu soru kısaca ele alınacaktır, ancak kısa cevap, çok değişkenli bir yoğunlukta entegrasyon gerçekleştiremeyebiliriz, ancak çoğu zaman çok değişkenli bir yoğunluğu, ters çevirmenin işe yarayabileceği tek değişkenli yoğunluğa da bölebiliriz.

Bayesliler Ne İstiyor ve Neden İstiyor? bu integrallerin analitik olarak hesaplanamayacağı İki Temel Örnekleme Yöntemi İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (23) – Bayesliler Ne İstiyor ve Neden İstiyor – İstatistik Nedir – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma Örneklemenin Ters Çevirme Yöntemi tahmini olasılıklar gibi

İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (23) – Bayesliler Ne İstiyor ve Neden İstiyor? – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma