İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (34) – Σx2, σy2 ve ρ İçin Koşul İfadeleri – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma

On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.

Σx2, σy2 ve ρ İçin Koşul İfadeleri

Varyans parametreleri ve korelasyon parametresi için koşullu dağılımların türetmeleri, ortalama parametrelerin türetmeleri kadar basit değildir. İlk olarak, daha önce de belirttiğimiz gibi, ρ üstel içinde çarpımsal formda göründüğünden, bu parametreden ayrılabilecek hiçbir terim yoktur ve bu nedenle ρ’nun dağılımını açıklığa kavuşturmak için yapılabilecek çok az basitleştirme vardır. Orantılılık sabitleri olarak yalnızca üstelin dışındaki baştaki terimler (σx2) (3 + n) / 2 (σy2) (3 + n) / 2 elimine edilebilir.

İkinci olarak, σxy kovaryans parametresi yerine korelasyon parametresi ρ ile parametrelendirilmiş modelle skaler gösterim kullanılarak, varyans parametreleri için tek değişkenli koşullu dağılımların türetilmesi de zordur. Örneğin, σx2 için koşullu olarak, Denklem 5.3’te bulunan tam arka yoğunluk ile başlayalım. Bu ifadede, σx2 içermeyen başlıca çarpımsal terimler sabitler olarak elenebilir ve üstel olarak, σx2 içermeyen toplamsal terimler elimine edilebilir. Bu bizi koşullu posterior ile baş başa bırakıyor:

p (σx2 | μx, μy, σy2, ρ, x, y) ∝

Ardından, paydayı ortadan kaldırmak için (üstel içinde) üstel terimleri σx2σy ile çarpabiliriz:

(xi −μx) −2σxρ (xi −μx) (yi −μy)

Terimleri biraz yeniden düzenlersek, şunu elde ederiz:

(σ x2) – (n + 1) / 2 + 1 p (σx2 | μx, μy, σy2, ρ, x, y) ∝

Bu gösterimde, σ2 için dağılım, α = (n + 1) / 2 ve β parametreleri üstel içindeki parantez içindeki ifadeye eşit olan neredeyse ters gama gibi görünmektedir. Ancak, ifadede çarpanlarına ayrılamayan ek bir σx terimi vardır. Σy2 için benzer bir ifade bulunabilir. Aslında, çok değişkenli normal dağılım için matris gösterimini kullanabiliriz ve tüm kovaryans matrisi Σ için koşullu dağılımı elde edebiliriz ve bunu bir sonraki bölümde yapacağız. Ancak şimdilik, bu noktada, varyans parametrelerini ve korelasyon parametresini güncellemek için MH adımlarını kullanmanın daha basit olduğunu düşünün.

Tam MH Algoritması

Aşağıda, ortalama parametreleri μx ve μy’yi güncellemek için Gibbs örnekleme adımlarını ve σx2 ve σy2’yi güncellemek için MH adımlarını içeren bir hibrit algoritma bulunmaktadır:

BVN dağıtımından parametreleri simüle etmek için R programı # x ve y verilerdir, bunlar zaten aşağıdaki gibi bellekte depolanmıştır:

lnpost<-function(ar,amx,amy,asx,asy,ax,ay,axy) {return(-690*log((1-ar^2)*asx*asy)
+(-.5/(1-ar^2))*(ax/asx – 2*ar*axy/sqrt(asx*asy) + ay/asy))}
mnx=mean(x); mny=mean(y); accr=0; accx=0; accy=0 mx=matrix(0,10000); my=matrix(0,10000); sx=matrix(1,10000); sy=matrix(1,10000); r=matrix(0,10000)
for(i in 2:10000){
#sample mx from normal mx[i]<-rnorm(1,mean=mnx+(r[i-1]*sx[i-1]*(my[i-1]-mny))/sy[i-1]
,sd=sqrt(sx[i-1]*(1-r[i-1]^2)/1377))
#sample my from normal my[i]<-rnorm(1,mean=mny+(r[i-1]*sy[i-1]*(mx[i]-mnx))/sx[i-1]
,sd=sqrt(sy[i-1]*(1-r[i-1]^2)/1377))
#update sums of squares sx2=sum((x-mx[i])^2); sy2=sum((y-my[i])^2); sxy=sum((x-mx[i])*(y-my[i]))
#sample sx
sx[i]=sx[i-1]+runif(1,min=-.1,max=.1); acc=1 if(sx[i]<0){acc=0; sx[i]=sx[i-1]} if((lnpost(r[i-1],mx[i],my[i],sx[i],sy[i-1],sx2,sy2,sxy)
-lnpost(r[i-1],mx[i],my[i],sx[i-1],sy[i-1],sx2,sy2,sxy))
<log(runif(1,min=0,max=1))) {acc=0; sx[i]=sx[i-1]} accx=accx+acc
#sample sy
sy[i]=sy[i-1]+runif(1,min=-.1,max=.1); acc=1 if(sy[i]<0){acc=0; sy[i]=sy[i-1]} if((lnpost(r[i-1],mx[i],my[i],sx[i],sy[i],sx2,sy2,sxy)
-lnpost(r[i-1],mx[i],my[i],sx[i],sy[i-1],sx2,sy2,sxy))
<log(runif(1,min=0,max=1))) {acc=0; sy[i]=sy[i-1]} accy=accy+acc
#sample r from full posterior using MH step r[i]=r[i-1]+runif(1,min=-.05,max=.05); acc=1 if(abs(r[i])>1){acc=0; r[i]=r[i-1]} if((lnpost(r[i],mx[i],my[i],sx[i],sy[i],sx2,sy2,sxy)
-lnpost(r[i-1],mx[i],my[i],sx[i],sy[i],sx2,sy2,sxy))
<log(runif(1,min=0,max=1))) {acc
=0; r[i]=r[i-1]} accr=accr+acc
if(i%%100==0){print(c(i,accr/i,accx/i,accy/i, mx[i],my[i],sx[i],sy[i],r[i]),digits=4)}

Bu program korkutucu derecede uzundur. Ancak, programın her bölümünü ayrı ayrı ele alırsak, gerçekten oldukça basittir. Kısaca anlatmak adına, tüm programı satır satır tartışmayacağım; bunun yerine, ayrı bölümleri kısaca anlatacağım.

Programın en başında programda kullanılacak çeşitli değişkenleri tanımlıyorum ve MH adımlarında varyans ve korelasyon parametrelerini güncellemek için kullanılan bir fonksiyon (lnpost) oluşturuyorum. Bu işlev, verilerin ve parametrelerin belirlenmiş değerlerinde değerlendirilen log posterior yoğunluğudur. Bir kez daha, log posterior yoğunluğunu kullanıyorum, çünkü yoğunluğun kendisi (bu formda) değerlendirildiğinde hesaplama yetersizliği sorunları ortaya çıkar.

Sonraki iki bölüm, modeldeki diğer tüm parametrelerin mevcut değerlerine bağlı olarak, önceki bölümde türetilen uygun normal dağılımlardan ortalama parametreleri örneklemektedir. Sonraki kısa bölüm, karelerin toplamını günceller (ortalama parametrelerin mevcut değerlerinden verilerin kare sapmalarının toplamı). Sonraki üç bölüm, ortalamalar için mevcut değerler, karelerin toplamları ve diğer kalan parametreler göz önüne alındığında varyansları ve korelasyonu günceller.

Bu bölümler,

(1) aday oluşturma adımının değişmesi ve

(2) lnpost işlevinin farklı değişkenlerle beslenmesi dışında dikkate değer ölçüde benzerdir.

Her varyans ve korelasyon için bir tane olmak üzere ayrı kabul oranı değişkenleri oluşturduğuma ve loglanan posterior yoğunlukların oranıyla karşılaştırmak için tek tip bir rastgele sayının günlüklenmiş bir değerini kullandığıma dikkat edin.Örneklerin bir iz grafiğini ve histogramını göstermektedir.

Korelasyon parametresinin marjinal posterior dağılımı, modelde ilgilenilen anahtar parametre. Şekilde görüldüğü gibi, algoritma hızla yakınlaştı (Pearson korelasyonu). Genel olarak, tüm parametreler için arka ortalamalar, örnek sayaç kısımlarına çok yakındı:

μ ̄ = x ̄ = 2.19; x
μ ̄ = y ̄ = 2.02; σ ̄2 = s2 = 1.43; σ ̄2 = s2 = 1.14; veρ ̄ = r = .450.

Tüm parametrelerdeki belirsizliğimizi yansıtan ρ için yeni bir aralık tahmini oluşturabiliriz. Bu aralık [.406, .491] olup, diğer parametrelerin örnek değerlerinde sabitlendiğini varsaydığımızda elde ettiğimiz tahminden yaklaşık% 10 daha büyüktür ve bu tahmin, z dönüşümü kullanılarak elde edilenle daha yakından eşleşir.

İki Değişkenli Normal Dağılım Problemine Matris Yaklaşımı

Tartıştığımız gibi, iki değişkenli normal dağılım, boyutları ikiye eşit olan çok değişkenli normal dağılımdır. Yoğunluk fonksiyonunun skaler bir versiyonunu sunmama rağmen, Bölüm 2’de gösterilen matris temsili, arka yoğunluğu oluşturmak için de kullanılabilir. Bu yaklaşıma göre, yukarıda kullanılanla aynı önceden verildiğinde, arka yoğunluk:

p (μ, Σ | X, Y) ∝ (xi – μx) (yi – μy)] Σ − 1 [(xi – μx) (yi – μx)] T

S, kareler matrisinin toplamıdır [(X −μx) (Y −μy)] T [(X −μx) (Y −μy)]. X ve Y’nin n × 1 sütun vektörleri olduğuna ve dolayısıyla S’nin 2 × 2 olduğuna dikkat edin. Bu matrisin köşegen elemanları varyansın paylarıdır; köşegen dışı eleman, x ve y arasındaki kovaryansın payıdır.

Arka yoğunluğun bu gösteriminde, μx, μy değerlerine ve verilere bağlı olarak, kovaryans matrisinin Σ n serbestlik derecesi ve ölçek matrisi S ile ters bir Wishart dağılımını izlediği açıktır.

Ortalama parametreler için koşullu dağılımlar nelerdir? Tek değişkenli normal dağılım problemi için önceki bölümde elde ettiğimiz sonuç genişletilebilir. Tek değişkenli durumda, μ için arka yoğunluk N (x ̄, σ2 / n) ‘dir. Çok değişkenli durumda, arka dağılım N (X ̄, (1 / n) Σ) ‘dır, burada X ̄ örnek ortalamaların bir vektörüdür.

İki değişkenli normal dağılım İki Değişkenli Normal Dağılım Problemine Matris Yaklaşımı İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (34) – Σx2 Korelasyon parametresinin marjinal posterior dağılımı modeldeki diğer tüm parametrelerin mevcut değerlerine bağlı olarak Tam MH Algoritması Σx2 σy2 ve ρ İçin Koşul İfadeleri σy2 ve ρ İçin Koşul İfadeleri – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma

İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (34) – Σx2, σy2 ve ρ İçin Koşul İfadeleri – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma