İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (65) – Genel Olarak Hiyerarşik Modeller – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Genel Olarak Hiyerarşik Modeller
Bu g parametrelerinin γ parametresiyle ortak bir W dağılımından kaynaklandığını varsayalım (bu parametreye “hiperparametre” denir). Yani:
- θg ∼W (γ) olur.
Son olarak, γ’nin üniforma gibi belirsiz bir dağılımı olduğunu varsayalım:
- γ ∼ U (−100, 100).
Tüm bilinmeyen parametreler için bir arka dağılım şu şekilde olacaktır (Q ve W yoğunluklarını aşağıdaki koşullu yapıya yerleştirdikten sonra):
- p (γ, θ | y) ∝ p (y | θ, γ) p (θ | γ) p (γ).
Bu hiyerarşik yapının nasıl “çalıştığını” görmek için, buradaki son iki terimin [p (θ | γ) p (γ)], birlikte çarpıldığında, γ ve θ için ortak bir dağılım verdiğine dikkat edin [p (θ, γ)] . Böylece, iki parametre için, daha sonra veriler için bir örnekleme yoğunluğu [p (y | θ, γ)] ile çarpılan marjinal bir ortak dağılımla kalırız.
Bayes teoremi bize, parametreler için bu marjinal eklem yoğunluğunun katsayılarının ve parametreler verildiğinde veriler için örnekleme yoğunluğunun tüm parametreler için bir arka yoğunluk verdiğini söyler.
Nihayetinde, grup seviyesi parametreleri (θg) için posterior dağılımlarla pek ilgilenmeyebiliriz, bunun yerine grup seviyesi parametrelerinin dağılımını yapılandıran hiperparametrenin γ posterior dağılımıyla ilgilenebiliriz. Başka bir deyişle, γ için sadece marjinal dağılımla ilgilenebiliriz:
- p (γ | y) ∝ p (y | θ, γ) p (θ | γ) p (γ) dθ.
Son birkaç bölümde tartıştığımız gibi, bu entegrasyon, her parametre için koşullu posterior dağılımlardan örnek alırken, MCMC yöntemleriyle stokastik olarak gerçekleştirilir.
Bu sonuç, Bayesci bir yaklaşımın verilerdeki veya parametrelerdeki hiyerarşik yapıyı ele almasının basitliğini göstermektedir. İstenirse çok kolay bir şekilde yapıya sonraki katmanları ekleyebilir ve yapının her katmanını regresyon bileşenlerine ayırabiliriz.
Oylama Örneği Redux
Bölüm 3’te Bayes’in Teoremini 2004 seçim öncesi anketlerden bir oylama örneği ile gösterdim. Bu örnekte, Kerry’nin Ohio’da en son anketi güncel veriler ve önceki üç anketten alınan veriler olarak kullanarak Ohio’da seçimi kazanması olasılığını dikkate aldık. Kerry’ye (K) oy verecek seçmenlerin oranı göz önüne alındığında, mevcut anket verileri (x) için iki terimli bir olasılık fonksiyonu / örnekleme yoğunluğu varsaydık ve Kerry için oy sayısıyla K için öncül olarak bir beta dağılımı kullandık ve Bush önceki anketlerde sırasıyla α ve β parametreleri ile temsil edilmektedir. Özetlemek gerekirse, arka yoğunluğumuz şöyleydi:
- p (K | α, β, X) ∝ K556 (1 – K) 511 K941 (1 – K) 1007.
Orijinal örnekte, kullandığımız dört anket bazı trendler gösteriyor gibi görünse de, çeşitli anket kuruluşlarından mevcut tüm anketlerden elde edilen eksiksiz verilerin herhangi bir trend önermediğini ve önceki anket verilerini tek bir önceki α ve β için dağılım. Alternatif bir yaklaşım olarak, eğilim olmaksızın, anketler aynı popülasyondan alınan ayrı örnekler olarak düşünülebilir, her biri α ve β parametreleri ile ilgili koşullu bağımsız bilgiler sağlar. Bu durumda, her anketin sonucunun benzersiz, ankete özgü bir Ki parametresinin sonucu olduğunu ve Ki’nin beta dağılımından α ve β hiperparametreleri ile rastgele gerçekleşmeler olduğunu düşünebiliriz. Bu yaklaşım, oylama örneğini aşağıdaki yapıyla hiyerarşik bir model olarak yeniden şekillendirir:
- p (α, β, K | X) ∝ p (X | K) p (K | α, β) p (α, β).
Burada ve bölümün geri kalanında, belirli bir miktar doğrudan daha yüksek bir parametreye bağlı olmadığında koşullu dağılımlardaki gösterimi bastırıyorum. Örneğin, burada olabilirlik fonksiyonu nihayetinde hiperparametrelere α ve β bağlıdır; ancak, bu sadece bu parametrelere bağlıdır ve bu nedenle, tam olasılığı p (X | K, α, β) olarak açıklamıyorum.
Modelin olasılık kısmı, dört anket için örnekleme yoğunluklarının ürünüdür:
- Kxi (1 – Ki) ni − xi olur.
Her K (K1 .. K4) için önceki yoğunluklar beta yoğunluklardır; ürünleri tam önceki yoğunluktur:
- p (K | α, β) ∝ Kα − 1 (1 – Ki) β − 1.
Son olarak, hiperparametreler α ve β için hiper öncüler oluşturmalıyız. Bununla birlikte, hiper öncülün biçimini düşünmeden önce, arka yoğunluğun tam ifadesini ele alalım:
- p (α, β, K | x)
Bu posterior dağıtımı, benzer ürünleri aşağıdaki gibi birleştirerek basitleştirebiliriz:
- p (α, β, K | x) ∝ Kxi + α − 1 (1 − Ki) ni − xi + β − 1 p (α, β).
Mevcut yaklaşım ile Bölüm 3’teki orijinal örnekte sunulduğu şekliyle arasındaki temel fark, mevcut verilerin basitçe en yeni anket verileri olduğu varsayılması ve önceki üç anketin birleştirilmesi ve bunu temsil eden sabit miktarlar olduğunun varsayılmasıdır. α ve β değerleri. Mevcut yaklaşıma göre, aksine, önceki yoklama verilerinin – önceden sabitlenmiş bilgiler olarak ele alınmak yerine, hiperparametreler α ve β tarafından yönetilen rastgele bir süreçten kaynaklandığı da kabul edilir. Bu parametrelerin sabit olduğu varsayıldığında, arka yoğunluk yalnızca tek parametre K’yi içeriyordu.
Ancak şimdi, tam posterior α ve β’ya ek olarak her Ki’yi içerir. Daha önce, gama fonksiyonunu [Γ (α + β) / (Γ (α) Γ (β))] içeren ana ifade normalleştirme sabiti olarak düşürülüyordu çünkü α ve β aslında sabitti.
Bununla birlikte, hiyerarşik yaklaşım altında artık rastgele değişkenler olarak kabul edilirler ve bunları içeren terimler kolayca çıkarılamaz. Aslında, bireysel K parametreleri hala ilgi çekici olsa da, ilgi alanları, Kerry’ye oy verecek seçmenlerin oranını yöneten ve her bir anket sonucunu yönlendiren nüfus parametreleri olduğu düşünülen esas olarak α ve β üzerine odaklanır.
O halde, Gibbs örnekleme stratejisi, koşullu posterior dağılımlarından α, β ve her K’nin örneklenmesini içermelidir. Her K için koşullu arka dağılımlar, Denklemde arkadaki terimleri içermeyen terimleri ortadan kaldırdıktan sonra, A = xi + α ve B = ni – xi + β parametreli beta dağılımları olarak kolayca görülebilir:
- p (Ki | α, β, xi) ∝ Kxi + α − 1 (1 – Ki) ni − xi + β − 1.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Genel Olarak Hiyerarşik Modeller hiyerarşik yaklaşım altında hiyerarşik yapı İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (65) – Genel Olarak Hiyerarşik Modeller – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma mevcut verilerin basitçe en yeni anket verileri Oylama Örneği Redux