İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (68) – Hiyerarşik Doğrusal Regresyon Modelleri – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Rastgele Efektler: Rastgele Müdahale Modeli
Genel olarak, hiyerarşik modellemenin amacı, farklı seviyelerde ölçülen faktörlerin tipik bir regresyon modelleme çerçevesi kullanarak bir sonucu ne ölçüde etkilediğini belirlemektir. Bununla birlikte OLS regresyonu, gruplar içindeki gözlemler için hataların bağımsız olmaması nedeniyle uygun değildir. Dolayısıyla bu bağımsızlık eksikliğini telafi etmek için alternatif bir model geliştirilmelidir.
Hiyerarşik regresyon modelinin temeli, basit rastgele etkiler modelidir. Örnek olarak, iki yıllık bir dönem içinde iki kez bireylerden oluşan bir koleksiyon gözlemlediğimizi ve zamanın her noktasında gelirlerini sorduğumuzu varsayalım. Muhtemelen her bir bireyin gelirinin zaman periyodu içinde çok az değişmesi durumudur ve bu nedenle, verileri her bireyin kendi engelini (veya ortalamasını) alacak şekilde modelleyebiliriz. Denklem biçimi:
- yit = αi + eit, OLUR.
αi ∼ N (α, τ2) ve eit ∼ N (0, σ2) ile. Bu spesifikasyon, ilgili çıktının (gelir; y) iki farklı seviyede ölçülen “değişkenlerin” bir fonksiyonu olarak kabul edildiğini göstermektedir: αi, bireysel (grup) seviyeli bir değişkendir ve eit, zamana özgü (bireysel) bir rastgele hata terimiDİR.
Bu modeli belirlemenin alternatif ama eşdeğer bir yolu, olasılık gösterimini kullanmaktır. Bu yaklaşım, modelin hiyerarşik yapısını netleştirir:
- yit ∼N (αi, σ2)
- αi ∼N (α, τ2)
- α ∼ N (m, s2)
- τ2 ∼IG (a, b)
- σ2 ∼IG (c, d).
Bu belirtim, bir bireyin zamana özgü gelirinin, kişiye özgü bir ortalamaya eşit bir ortalamaya ve bazı varyansa sahip rastgele bir normal değişken olduğunu söyler. İkinci denklem, bireye özgü araçların kendilerinin, bazı popülasyon ortalamalarına ve bazı varyansa eşit bir ortalamaya sahip (normal) bir dağılımdan geldiğini gösterir. Son olarak, son üç denklem, popülasyon büyük ortalaması α, popülasyon varyansı (ortalama civarında) τ2 ve hata varyansı σ2 için spesifik hiperprior dağılımlarıdır.
Popülasyon ortalamasının hiperprior dağılımı burada normal olarak belirtilmiştir, m ve s2 parametreleri; Önceden bilgi olmadan, bu parametreler hiper öncüyü belirsiz hale getirmek için belirtilmelidir (örneğin, m = 0 ve s2 = 10.000 diyelim). Popülasyon varyansı ve hata varyansı için hiperprior dağılımları, sırasıyla a ve b ve c ve d parametreleriyle ters gama dağılımlarıdır. Bir kez daha, önceden bilgi olmadan, bu parametreler, hiperprior’u belirsiz hale getirmek için sabitlenmelidir.
Basit bir rastgele etki modeli olmasının yanı sıra, bu model bazen “rastgele yakalama modeli” olarak adlandırılır, çünkü model, her αi’nin bir (normal) ‘den kaynaklanan gruba özgü bir kesişme terimi olarak kabul edildiği bir regresyon modeli olarak görülebilir. Olasılık dağılımı (bu noktada, hiçbir değişken dahil edilmeden) farklıdır.
Bu model için bir Gibbs örnekleyici uygulamak için, önce arka dağılımı oluşturmamız gerekir. Bu model için arka dağıtım, bölümün başında sunulan koşullu dağılımları kullanarak hiyerarşik modelleme yapısını takiben türetilmesi kolaydır. Arka dağılımdaki ilgi parametreleri, bireysel αi, popülasyon ortalaması α, varyansı τ2 ve artık varyans σ2’dir ve bu nedenle, arka yoğunluğumuz:
- p (α, τ2, αi, σ2 | Y) ∝ p (Y | αi, σ2) p (αi | α, τ2) p (α | m, s2) p (τ2 | c, d) p (σ2 | a , b).
Posterior dağıtımın özelliklerini tamamlamak için, her terimi gerçek dağılımıyla değiştirmemiz yeterlidir. Yukarıda tartışıldığı gibi, verilerin normal olarak dağıtıldığı varsayılır ve bu nedenle olasılık terimi:
- p (Y | αi, σ) ∝ (y ben t – α i) 2 / 2σ2
Her αi’nin dağılımı da normaldir ve şu şekildedir:
- p (αi | α, τ) ∝ (αi − α) 2 2τ2
Kalan terimler, popülasyon ortalaması (α), popülasyon rastgele etkiler varyansı (τ2) ve artık varyans (σ2) için hiperprior dağılımlarıdır. Yukarıda bahsedildiği gibi, α’nın m ve s2 parametreleri ile normal bir dağılımdan geldiği varsayılır ve iki varyans parametresinin sırasıyla a ve b ve c ve d parametreleriyle ters gama dağılımlarından geldiği varsayılır. Bu, aşağıdaki ortak hiperprior dağılımını ifade eder:
- p (α | m, s2) p (τ2 | a, b) p (σ2 | c, d)
O halde tam posterior, bu üç terimin ürünüdür – benzerlik, önceki ve hiperprior dağılımları. Posterior dağıtım, üslerin çarpımı yapılarak ve benzer terimler birleştirilerek önemli ölçüde basitleştirilebilse de, Gibbs örnekleyicisinin koşullarını, posteri olduğu gibi bırakarak türetmek daha basittir.
Gibbs örnekleyici için, parametrelerin her biri için koşullu dağılımlara ihtiyacımız var; onları posteriordan türetmek, yalnızca ilgili parametreyi içeren terimleri seçmek, diğer tüm çoklayıcı terimleri orantılılık sabitleri olarak atmak ve sonuçta ortaya çıkan dağılımı belirlemek için geriye kalanı basitleştirmek / yeniden düzenlemek gibi basit ama sıkıcı bir meseledir. Α parametresiyle başlarsak, arkadaki ilgili terimler şunlardır:
- p (α |.) ∝ p (αi | α, τ2) p (α)
Bu ifadeden, varyansları içeren önde gelen kesirler normalleştirici sabitler olarak çıkarılabilir (α’ya bağlı değildirler) ve üstel ifadeler birleştirilerek şunları elde edilebilir:
- p (α |.) ∝ τ2 (α − m) 2 + s2ni = 1 (αi − α) 2 / τ2s2
Daha sonra, üstelin payını genişletebiliriz, α’yı sabitler olarak içermeyen terimleri çıkarabiliriz ve elimizde:
- p (α |.) ∝ τ2α2 – 2τ2αm – 2s2ααi + ns2α2 / τ2s2
Koşulları yeniden düzenleyerek şunları elde ederiz:
- p (α |.) ∝ τ2 + ns2) α2 – 2α (τ2m + s2 αi) / τ2s2
Bölüm 3’te yaptığımız gibi, kareyi α’da tamamlayabiliriz.
Her bir αi için koşullu posterior dağılımın elde edilmesi daha da kolaydır. Bir kez daha, sadece αi’yi içeren terimlerle başlıyoruz. Bununla birlikte, her bir i için, üründeki tek ilgili terimin o belirli bireyi ilgilendiren terimler olduğunun farkına varmalıyız. Bu nedenle, kişi i (∀i) için koşullu posterior olur.
Α ile aynı adımları izleyebiliriz ve kareyi αi’de tamamlarsak, bu sonuç, σ2 için koşullu posteriorun ters gama dağılımı olduğunu gösterir: τ için koşullu posterior benzer şekilde türetilebilir.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Gibbs örnekleyici için Gibbs örnekleyici uygulamak Hiyerarşik regresyon modeli İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (68) – Hiyerarşik Doğrusal Regresyon Modelleri – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma koşullu posterior dağılımı Popülasyon ortalaması Posterior dağıtımın özellikleri Rastgele Efektler: Rastgele Müdahale Modeli rastgele etki modeli zamana özgü geliri