Kuyruk Bağımlılığı Katsayısının Tahmin Edilmesi Kuyruk bağımlılığı katsayısı, η, asimptotik bağımlılık veya asimptotik bağımsızlık arasında ve ikinci sınıfta pozitif ilişki, neredeyse bağımsızlık veya negatif ilişki arasında ayrım yapmak için en yararlı olduğu bulunmuştur. Bu, bu bölümün konusu olan η’yi tahmin etme problemini özellikle alakalı hale getirir. Tepe tahmincisi ve maksimum olabilirlik tahmincisi Varsayım (9.85), tek değişkenli T = min (Z1, Z2) değişkeninin − 1 / η indeksinde düzenli olarak değişen bir kuyruğa sahip olmasını gerektirir; burada Zj, − 1 / logFj (Xj) (standart Fre ́chet kenar boşlukları) veya 1 / {1 – Fj (Xj)} (standart Pareto kenar boşlukları). Bu nedenle, η ve dolayısıyla χ ̄ = 2η – 1, örneğin Bölüm 4-5’teki tek değişkenli tekniklerle T’nin kuyruk indeksi olarak tahmin edilebilir. Ayrıca, L (z) ‘nin z → ∞ ve η 1’e eşit olarak yakınsamasına tabi olarak, bağımlılık parametresi χ’nin büyük z değerleri için T’nin ölçek parametresi olarak tahmin edilebileceğine dikkat edin, bu durumda L ( z) yaklaşık olarak sabittir ve χ’ye eşittir. Bağımsız gözlemlerin bir örneği verildiğinde (Xi1, Xi2), i = 1,. . . , n, Ledford ve Tawn (1996), verilerin yaklaşık standart Fre chet marjlarına sahip olacak şekilde dönüştürülmesini önermektedir. Zij = −1 / logFˆj (Xij), i = 1, …, n, j = 1,2, Marjinal dağılım fonksiyonlarının Fgj tahminleri ile, tipik olarak ampirik marjinal dağılım fonksiyonları ile ve marjinal kuyruklar için aşırı değer tahmin edicileri dahil ederek. Alternatif olarak, Zij = 1 / {1 − Fˆj (Xij)} ile standart Pareto kenar boşluklarına dönüştürebiliriz. Herhangi bir durumda, Ti = min (Zi1, Zi2), i = 1, …, n, yaklaşık olarak T gibi dağıtılmış bağımsız bir örnek oluşturur. Ti byT1’in sıra istatistiklerini, n · ··· ≤Tn, n olur.Ti’yi η’yi tahmin etmek için kullanabiliriz, örneğin Hill (1975) tahmincisi tarafından yapılır. veya yeterince yüksek bir eşiğin u üzerindeki T aşımlarının bir GP dağılımını takip ettiği varsayıldığı bir eşik üstü tepe ayarında maksimum olasılık tahmincisi tarafından P [T> u + z | T> u] = (1 + ηz / σ) −1 / η, 0≤z <∞, (9,91) olur. Şekil parametresi 0 0. Model (9.91) altında, Ledford ve Tawn (1996), alternatif 0 <η D] / 2 olur. Yine de, gerçek tahmin belirsizliğinin, Ti’nin bağımsız olduğunu, her bir marjinal dağılımın tam olarak tahmin edildiğini ve modelin (9.85) parametrik belirtimi doğrudur. Tutarlı tahmin edici Yansız tahmin edici Moment tahmin edicisi En çok OLABİLİRLİK tahmin edicisi Yeterli istatistik Parametre tahmin yöntemleri Tahmin Edicileri bulma Yöntemleri Tahmin EDİCİLERDE ARANAN özellikler Tahmin ediciler Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2002) Örneğin yukarıdaki prosedürde hesaba katılmayan olası marjinal dönüşümlerin getirdiği belirsizliğin bir sonucu olarak η tahminlerindeki gerçek belirsizliğin azımsanmasını önlemek için, Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2004), marjinal dağılımlara bağlı olmayan bazı parametrik olmayan alternatifler aracılığıyla (9.85) ‘de η’nın tahmin edilmesini önermektedir. Standart için formüle edilmiş varsayım (9.85) ParetoZj = 1 / {1 − Fj (Xj)} olur. s> 0 için hem Peng (1999) hem de Draisma ve ark. (2004), bu sınırlayıcı ilişki, orijinal gözlemlerin (Xi1, Xi2), i = 1, ampirik dağılım fonksiyonuna dayanarak η için parametrik olmayan bir tahminci oluşturmak için kullanılır. . . , n. X (i, n) ile j. Koordinat örneğinin (Xij) ni = 1 (j = 1, 2) i. k = 0 için. . . , n – 1. Sn (k) ‘nin verilere yalnızca sıraları üzerinden bağlı olduğuna ve Sn (k) / n’nin P [X1> F1 ← (1 – k / n), X2’nin ampirik karşılığı olarak görülebileceğine dikkat edin. > F2 ← (1 – k / n)]. (9.92) ‘nin her iki tarafında s = 2 ile logaritma almak, oldukça doğal bir şekilde Peng (1999) tarafından önerilen tahmin ediciye götürür. (9.92) ‘nin her iki tarafını 0’dan 1’e kadar s’ye göre entegre etmek tahmin ediciye Draisma ve ark. (2004). Ηˆ1’in Sn (k) ve Sn (2k) ‘ye dayandığına ve ηˆ2’nin sadece k’ye kadar j için Sn (j)’ den inşa edildiğine dikkat edin. Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2004) 0 <xj x1z, Z2> x2z] ‘nin sınırlayıcı davranışı üzerine belirli ikinci dereceden koşullar altında tahmin edicilerinin asimptotik normalliğini kurarlar. Peng’in (1999) ikinci dereceden koşulları, (9.85) ‘de yavaş değişen L (z) fonksiyonunun z → ∞ olarak sıfıra yakınsamasını yasaklar, böylece asimptotik bağımsızlık hipotezi (χ = 0) η <1'e eşittir. Bir dezavantaj, iki değişkenli normal (Örnek 9.3) gibi dağılımların hariç tutulmasıdır. Draisma ve diğerleri tarafından ikinci dereceden koşullar. (2004), z → ∞ olarak L (z) → 0'a izin verdikleri için daha az kısıtlayıcıdır. Draisma vd. (2004), yalnızca tahmin edicileri η est2 (9.95) için değil, aynı zamanda Peng (1999) tarafından ηˆ1 (9.94), Hill tahmincisi ηˆ3 (9.90) ve (9.91) 'den kaynaklanan maksimum olasılık tahmincisi ηˆ4 için de asimptotik normalliği kanıtlamaktadır. eşik u = Tn − k, n. Verileri standart Pareto marjlarına dönüştürürler. Zij'in yalnızca sıralamalar aracılığıyla orijinal Xij verilerine bağlı olduğunu gözlemleyin. Draisma vd. (2004), k = kn için belirli büyüme koşulları altında, standartlaştırılmış tahmin ediciler {Sn (k)} 1/2 (ηˆi – η) (i = 1, 2) ve k1 / 2 (ηˆi – η) (i = 3, 4) ortalama 0 ve bazı asimptotik varyanslar σi2 (i = 1,.., 4) ile asimptotik olarak normaldir. Σi için ifadeler oldukça karmaşıktır, ancak Draisma ve ark. (2004) onları Zij'den de tahmin etmenin bir yolunu önerir. Bu tür tahminler σˆi ile ifade edildiğinde, η için asimptotik güven aralıkları kolayca oluşturulabilir ve η = 1 alternatif η <1'e karşı test edilebilir. Örneğin, σˆ (i) tahmin edilen kök varyanslarını {Sn (k, k)} – 1 / 2σˆi (i = 1, 2) ve k − 1 / 2σˆi (i = 3, 4) ile ifade edersekη = 1, wecanrejectη = 1infavourofη <1ifηˆi ≤1 − zασˆ (i), withzα ile standart normal dağılımın (1 – α) -kuantilidir.
![Kuyruk Bağımlılığı Katsayısının Tahmin Edilmesi Kuyruk bağımlılığı katsayısı, η, asimptotik bağımlılık veya asimptotik bağımsızlık arasında ve ikinci sınıfta pozitif ilişki, neredeyse bağımsızlık veya negatif ilişki arasında ayrım yapmak için en yararlı olduğu bulunmuştur. Bu, bu bölümün konusu olan η'yi tahmin etme problemini özellikle alakalı hale getirir. Tepe tahmincisi ve maksimum olabilirlik tahmincisi Varsayım (9.85), tek değişkenli T = min (Z1, Z2) değişkeninin − 1 / η indeksinde düzenli olarak değişen bir kuyruğa sahip olmasını gerektirir; burada Zj, − 1 / logFj (Xj) (standart Fre ́chet kenar boşlukları) veya 1 / {1 - Fj (Xj)} (standart Pareto kenar boşlukları). Bu nedenle, η ve dolayısıyla χ ̄ = 2η - 1, örneğin Bölüm 4-5'teki tek değişkenli tekniklerle T'nin kuyruk indeksi olarak tahmin edilebilir. Ayrıca, L (z) 'nin z → ∞ ve η 1'e eşit olarak yakınsamasına tabi olarak, bağımlılık parametresi χ'nin büyük z değerleri için T'nin ölçek parametresi olarak tahmin edilebileceğine dikkat edin, bu durumda L ( z) yaklaşık olarak sabittir ve χ'ye eşittir. Bağımsız gözlemlerin bir örneği verildiğinde (Xi1, Xi2), i = 1,. . . , n, Ledford ve Tawn (1996), verilerin yaklaşık standart Fre chet marjlarına sahip olacak şekilde dönüştürülmesini önermektedir. Zij = −1 / logFˆj (Xij), i = 1, ..., n, j = 1,2, Marjinal dağılım fonksiyonlarının Fgj tahminleri ile, tipik olarak ampirik marjinal dağılım fonksiyonları ile ve marjinal kuyruklar için aşırı değer tahmin edicileri dahil ederek. Alternatif olarak, Zij = 1 / {1 − Fˆj (Xij)} ile standart Pareto kenar boşluklarına dönüştürebiliriz. Herhangi bir durumda, Ti = min (Zi1, Zi2), i = 1, ..., n, yaklaşık olarak T gibi dağıtılmış bağımsız bir örnek oluşturur. Ti byT1'in sıra istatistiklerini, n · ··· ≤Tn, n olur.Ti'yi η'yi tahmin etmek için kullanabiliriz, örneğin Hill (1975) tahmincisi tarafından yapılır. veya yeterince yüksek bir eşiğin u üzerindeki T aşımlarının bir GP dağılımını takip ettiği varsayıldığı bir eşik üstü tepe ayarında maksimum olasılık tahmincisi tarafından P [T> u + z | T> u] = (1 + ηz / σ) −1 / η, 0≤z F1 ← (1 - k / n), X2'nin ampirik karşılığı olarak görülebileceğine dikkat edin. > F2 ← (1 - k / n)]. (9.92) 'nin her iki tarafında s = 2 ile logaritma almak, oldukça doğal bir şekilde Peng (1999) tarafından önerilen tahmin ediciye götürür. (9.92) 'nin her iki tarafını 0'dan 1'e kadar s'ye göre entegre etmek tahmin ediciye Draisma ve ark. (2004). Ηˆ1'in Sn (k) ve Sn (2k) 'ye dayandığına ve ηˆ2'nin sadece k'ye kadar j için Sn (j)' den inşa edildiğine dikkat edin. Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2004) 0 x2z] 'nin sınırlayıcı davranışı üzerine belirli ikinci dereceden koşullar altında tahmin edicilerinin asimptotik normalliğini kurarlar. Peng'in (1999) ikinci dereceden koşulları, (9.85) 'de yavaş değişen L (z) fonksiyonunun z → ∞ olarak sıfıra yakınsamasını yasaklar, böylece asimptotik bağımsızlık hipotezi (χ = 0) η](https://odevcim.net/wp-content/uploads/2020/11/getAsset.aspx_.jpg)
Kuyruk Bağımlılığı Katsayısının Tahmin Edilmesi
Kuyruk bağımlılığı katsayısı, η, asimptotik bağımlılık veya asimptotik bağımsızlık arasında ve ikinci sınıfta pozitif ilişki, neredeyse bağımsızlık veya negatif ilişki arasında ayrım yapmak için en yararlı olduğu bulunmuştur. Bu, bu bölümün konusu olan η’yi tahmin etme problemini özellikle alakalı hale getirir.
Tepe tahmincisi ve maksimum olabilirlik tahmincisi
Varsayım (9.85), tek değişkenli T = min (Z1, Z2) değişkeninin − 1 / η indeksinde düzenli olarak değişen bir kuyruğa sahip olmasını gerektirir; burada Zj, − 1 / logFj (Xj) (standart Fre ́chet kenar boşlukları) veya 1 / {1 – Fj (Xj)} (standart Pareto kenar boşlukları). Bu nedenle, η ve dolayısıyla χ ̄ = 2η – 1, örneğin Bölüm 4-5’teki tek değişkenli tekniklerle T’nin kuyruk indeksi olarak tahmin edilebilir.
Ayrıca, L (z) ‘nin z → ∞ ve η 1’e eşit olarak yakınsamasına tabi olarak, bağımlılık parametresi χ’nin büyük z değerleri için T’nin ölçek parametresi olarak tahmin edilebileceğine dikkat edin, bu durumda L ( z) yaklaşık olarak sabittir ve χ’ye eşittir.
Bağımsız gözlemlerin bir örneği verildiğinde (Xi1, Xi2), i = 1,. . . , n, Ledford ve Tawn (1996), verilerin yaklaşık standart Fre chet marjlarına sahip olacak şekilde dönüştürülmesini önermektedir.
Zij = −1 / logFˆj (Xij), i = 1, …, n, j = 1,2,
Marjinal dağılım fonksiyonlarının Fgj tahminleri ile, tipik olarak ampirik marjinal dağılım fonksiyonları ile ve marjinal kuyruklar için aşırı değer tahmin edicileri dahil ederek. Alternatif olarak, Zij = 1 / {1 − Fˆj (Xij)} ile standart Pareto kenar boşluklarına dönüştürebiliriz.
Herhangi bir durumda, Ti = min (Zi1, Zi2), i = 1, …, n, yaklaşık olarak T gibi dağıtılmış bağımsız bir örnek oluşturur. Ti byT1’in sıra istatistiklerini, n · ··· ≤Tn, n olur.Ti’yi η’yi tahmin etmek için kullanabiliriz, örneğin Hill (1975) tahmincisi tarafından yapılır.
veya yeterince yüksek bir eşiğin u üzerindeki T aşımlarının bir GP dağılımını takip ettiği varsayıldığı bir eşik üstü tepe ayarında maksimum olasılık tahmincisi tarafından
P [T> u + z | T> u] = (1 + ηz / σ) −1 / η, 0≤z <∞, (9,91) olur.
Şekil parametresi 0 0. Model (9.91) altında, Ledford ve Tawn (1996), alternatif 0 <η D] / 2 olur.
Yine de, gerçek tahmin belirsizliğinin, Ti’nin bağımsız olduğunu, her bir marjinal dağılımın tam olarak tahmin edildiğini ve modelin (9.85) parametrik belirtimi doğrudur.
Tutarlı tahmin edici
Yansız tahmin edici
Moment tahmin edicisi
En çok OLABİLİRLİK tahmin edicisi
Yeterli istatistik
Parametre tahmin yöntemleri
Tahmin Edicileri bulma Yöntemleri
Tahmin EDİCİLERDE ARANAN özellikler
Tahmin ediciler Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2002)
Örneğin yukarıdaki prosedürde hesaba katılmayan olası marjinal dönüşümlerin getirdiği belirsizliğin bir sonucu olarak η tahminlerindeki gerçek belirsizliğin azımsanmasını önlemek için, Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2004), marjinal dağılımlara bağlı olmayan bazı parametrik olmayan alternatifler aracılığıyla (9.85) ‘de η’nın tahmin edilmesini önermektedir.
Standart için formüle edilmiş varsayım (9.85) ParetoZj = 1 / {1 − Fj (Xj)} olur.
s> 0 için hem Peng (1999) hem de Draisma ve ark. (2004), bu sınırlayıcı ilişki, orijinal gözlemlerin (Xi1, Xi2), i = 1, ampirik dağılım fonksiyonuna dayanarak η için parametrik olmayan bir tahminci oluşturmak için kullanılır. . . , n. X (i, n) ile j. Koordinat örneğinin (Xij) ni = 1 (j = 1, 2) i.
k = 0 için. . . , n – 1. Sn (k) ‘nin verilere yalnızca sıraları üzerinden bağlı olduğuna ve Sn (k) / n’nin P [X1> F1 ← (1 – k / n), X2’nin ampirik karşılığı olarak görülebileceğine dikkat edin. > F2 ← (1 – k / n)].
(9.92) ‘nin her iki tarafında s = 2 ile logaritma almak, oldukça doğal bir şekilde Peng (1999) tarafından önerilen tahmin ediciye götürür. (9.92) ‘nin her iki tarafını 0’dan 1’e kadar s’ye göre entegre etmek tahmin ediciye Draisma ve ark. (2004). Ηˆ1’in Sn (k) ve Sn (2k) ‘ye dayandığına ve ηˆ2’nin sadece k’ye kadar j için Sn (j)’ den inşa edildiğine dikkat edin.
Peng (1999) ve Draisma ve ark. (2004) 0 <xj x1z, Z2> x2z] ‘nin sınırlayıcı davranışı üzerine belirli ikinci dereceden koşullar altında tahmin edicilerinin asimptotik normalliğini kurarlar. Peng’in (1999) ikinci dereceden koşulları, (9.85) ‘de yavaş değişen L (z) fonksiyonunun z → ∞ olarak sıfıra yakınsamasını yasaklar, böylece asimptotik bağımsızlık hipotezi (χ = 0) η <1'e eşittir. Bir dezavantaj, iki değişkenli normal (Örnek 9.3) gibi dağılımların hariç tutulmasıdır. Draisma ve diğerleri tarafından ikinci dereceden koşullar. (2004), z → ∞ olarak L (z) → 0'a izin verdikleri için daha az kısıtlayıcıdır.
Draisma vd. (2004), yalnızca tahmin edicileri η est2 (9.95) için değil, aynı zamanda Peng (1999) tarafından ηˆ1 (9.94), Hill tahmincisi ηˆ3 (9.90) ve (9.91) 'den kaynaklanan maksimum olasılık tahmincisi ηˆ4 için de asimptotik normalliği kanıtlamaktadır. eşik u = Tn − k, n. Verileri standart Pareto marjlarına dönüştürürler.
Zij'in yalnızca sıralamalar aracılığıyla orijinal Xij verilerine bağlı olduğunu gözlemleyin. Draisma vd. (2004), k = kn için belirli büyüme koşulları altında, standartlaştırılmış tahmin ediciler {Sn (k)} 1/2 (ηˆi – η) (i = 1, 2) ve k1 / 2 (ηˆi – η) (i = 3, 4) ortalama 0 ve bazı asimptotik varyanslar σi2 (i = 1,.., 4) ile asimptotik olarak normaldir.
Σi için ifadeler oldukça karmaşıktır, ancak Draisma ve ark. (2004) onları Zij'den de tahmin etmenin bir yolunu önerir. Bu tür tahminler σˆi ile ifade edildiğinde, η için asimptotik güven aralıkları kolayca oluşturulabilir ve η = 1 alternatif η <1'e karşı test edilebilir.
Örneğin, σˆ (i) tahmin edilen kök varyanslarını {Sn (k, k)} – 1 / 2σˆi (i = 1, 2) ve k − 1 / 2σˆi (i = 3, 4) ile ifade edersekη = 1, wecanrejectη = 1infavourofη <1ifηˆi ≤1 − zασˆ (i), withzα ile standart normal dağılımın (1 – α) -kuantilidir.
