Merkezi Limit Teoremi ve Normal Yaklaşımlar – Epidemiyolojide Biyoistatistiksel Yöntemler – Biyoistatistikler – Epidemiyoloji – Biyoistatistikler Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
Poisson dağılımının geçerli olması için herhangi bir zaman noktasında bir sonucun ortaya çıkma olasılığı “küçük” olmalıdır. Başka bir şekilde ifade edilirse, sonuç “nadir” bir olay olmalıdır. Yukarıdaki açıklamalardan da tahmin edilebileceği gibi, iki terimli ve Poisson dağılımları arasında bir bağlantı vardır. Aslında Poisson dağılımı, binom dağılımının sınırlayıcı bir durumu olarak türetilebilir.
D ortalama ν ile Poisson olsun ve A1, A2, olsun. Ai’nin parametrelere (πi, ri) sahip olduğu sonsuz bir iki terimli rastgele değişken dizisi olabilir. Dizinin aşağıdaki koşulları sağladığını varsayalım: Tüm i için πiri = ν ve πi’nin sınırlayıcı değeri 0’a eşittir. Bu koşullar altında binom rasgele değişkenlerin dizisi D’ye “yakınsar”; yani, ben büyüdükçe Ai’nin dağılımı D’nin dağılımına yaklaşıyor.
Bu teorik sonuç, Poisson dağılımının neden nadir olayları modellemek için sıklıkla kullanıldığını açıklıyor. Ayrıca, ν parametresine sahip Poisson dağılımının, ν = πr ve π’nin “küçük” olması koşuluyla (π, r) parametreleriyle binom dağılımını yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılabileceğini önermektedir.
Merkezi Limit Teoremi ve Normal Yaklaşımlar
X1, X2, olsun. . . , Xn rastgele bir dağılımdan bir örnek olup, ortak ortalama ve varyansı μ ve σ2 ile gösterir. (1.10) ve (1.11) ‘de X’in ortalama E (X) = μ ve varyans varyansı (X) = σ2 / n olduğu gösterilmiştir. Öyleyse, Örnek 1.3’ten rasgele değişken σn (X − μ) σhasmean0vevariance1.X normal değilse, normal dağılımın özelliklerini taşır.
Limit Teoremi, Xi normal olmadığında bile, √n (X −μ) / σ “yaklaşık” standart normaldir, sağlanan n’nin yeterince “büyük” olduğunu belirten olasılık teorisinin dikkate değer bir sonucudur. Xi’nin sürekli rastgele değişkenler olması gerekmediğini not ediyoruz. N arttıkça daha doğru hale gelen bunun gibi olasılık ifadelerinin asimptotik olarak geçerli olduğu söylenir. Buna göre, Merkezi Limit Teorisi, √n (X – μ) / σ’nun asimptotik olarak standart normal olduğunu belirtir.
A, (π, n) parametreli iki terimli olsun ve A1, A2, olsun. . . , Parametrelerle (π, 1) binom dağılımından bir örnek olabilir. Benzer şekilde, D, ν parametresine sahip Poisson olsun, burada ν = n olduğunu varsayalım ve D1, D2 olsun.
Merkezi Limit Teoreminden, n’nin büyük olması koşuluyla, A ve D’nin asimptotik olarak normal olacağı sonucu çıkar. Bu fenomeni aşağıda bir dizi grafikle gösteriyoruz.
D1, D2, olsun. . . , Dn bağımsız Poisson rastgele değişkenleri olabilir; burada Di, νi parametresine sahiptir (i = 1, 2,.., N). (1.12) ve Merkezi Limit Teoremine götüren argümanlardan, yaklaşık χ2 olduğunu izler. Daha genel olarak, X1, X2, olsun. . . , Xn, Xi’nin ortalama μi ve varyansı σi2 (i = 1,2, …, n) olduğu bağımsız rastgele (n) değişkenler. Her Xi yaklaşık olarak normalse o zaman durum farklılaşır.
Örnek 1.6 Tablo 1.6 (a), (.3, 10) parametreleri ile binom dağılımının alt ve üst kuyruk olasılıklarının kesin ve yaklaşık değerlerini vermektedir. İstatistiklerde “kesin” terimi, normal bir yaklaşımın tersine, gerçek bir olasılık fonksiyonunun hesaplamaları gerçekleştirmek için kullanıldığı anlamına gelir.
Binom dağılımının ortalaması ve varyansı .3 (10) = 3 ve .3 (.7) (10) = 2.1’dir. Yaklaşık değerler aşağıdaki yaklaşım kullanılarak hesaplandı. Örneğin, P (A ≤ 2 | .3) ‘e normal yaklaşım, standart normal eğrinin altındaki alana sola √ eşittir.
[(2 + .5) −3] / 2.1 ve P (A ≥ 2 | .3) ‘e normal yaklaşım [(2 – .5) – 3’ün sağındaki standart normal eğrinin altındaki area alanına eşittir.
Devamlılık düzeltme faktörleri ± .5 dahil edilmiştir, çünkü sürekli olan normal dağılım, ayrı olan bir binom dağılımını yaklaşık olarak belirlemek için kullanılmaktadır (Breslow ve Day, 1980, §4.3). Tablo 1.6 (a) ‘dan görülebileceği gibi, kesin ve yaklaşık değerler oldukça iyi bir uyum göstermektedir. Tablo 1.6 (b), daha büyük örneklem boyutu nedeniyle daha da iyi bir uyum gösteren parametrelerle (.3,100) binom dağılımı için sonuçları vermektedir.
Merkezi Limit Teoremi örnek Sorular
Merkezi limit teoremi ispat
Merkezi Limit Teoremi formülü
Merkezi limit teoremi için gerekli şartlar
Merkezi Limit Teoremi özellikleri
Merkezi Limit Teoremi ispatı
Merkezi limit kuramı
Merkezi limit teoreminin istatistikteki önemi
Yukarıda, örneklem büyüklüğü büyük olduğunda binom ve Poisson dağılımlarının yaklaşık olarak normal olduğunu gösteren argümanlar sunulmuştur. Açıkça sorulması gereken soru şudur: “Büyük” ne kadar büyüktür? Bu konuya deneysel olarak yaklaşıyoruz ve pratikte faydalı olan bir örneklem büyüklüğü kriteri sunuyoruz. Aşağıdaki açıklamalar, seçilen iki terimli ve Poisson dağılımlarının grafiklerini gösteren Şekil 1.1 (a) – 1.8 (a) ‘ya atıfta bulunmaktadır.
Örnek uzaydaki noktalar, dikey eksende karşılık gelen olasılıklarla birlikte yatay eksende işaretlenmiştir. Eksenlerde büyüklükler gösterilmemiştir, çünkü şimdilik sadece dağılımların şekilleriyle ilgileniyoruz. Yatay eksenler, iki terimli veya Poisson sonuçlarının sayısı anlamına gelen “sayım” terimiyle etiketlenir. Normal dağılımın simetrik, çan şeklindeki görünümüne sahip dağılımlar tatmin edici bir normal yaklaşıma sahiptir.
Binom ve Poisson dağılımları ardışık tam sayılardan oluşan örnek uzaylara sahiptir ve bu nedenle komşu noktalar arasındaki mesafe her zaman 1’dir. Sonuç olarak grafikler histogramlar (çubuk grafikler) şeklinde sunulabilirdi. Bunun yerine, aynı şekillerdeki kalan grafiklerle daha sonraki karşılaştırmaları kolaylaştırmak için adım fonksiyonları olarak gösterilirler.
Her adımın tabanı 1 uzunluğa sahip olduğundan, o adıma karşılık gelen dikdörtgenin alanı, örnek uzaydaki o nokta ile ilişkili olasılığa eşittir. Sonuç olarak, tüm örnek uzay boyunca toplandığında, her adım fonksiyonunun altındaki alan (1.1) ‘in gerektirdiği gibi 1’e eşittir.
Burada ele alınan bazı dağılımlar, çok az ilişkili olasılığa (alan) sahip kuyruklara sahiptir. Bu, örnek uzayının sonsuz olduğu ve aşırı kuyruk olasılıklarının küçük olduğu Poisson dağılımları için açıkça doğrudur. Grafikler,% 1’lik kuyruk olasılıklarına karşılık gelen dağılımların uç noktalarında kesilmiştir.
Şekil 1.1 (a) –1.5 (a) ‘yı oluşturmak için kullanılan binom parametreleri sırasıyla (.3,10), (.5,10), (.03,100), (.05,100) ve (.1,100) şeklindedir ve yani ortalamalar 3, 5 ve 10’dur. Şekil 1.6 (a) -1.8 (a) ‘yı oluşturmak için kullanılan Poisson parametreleri 3, 5 ve 10’dur ve bunlar da dağılımların araçlarıdır. Görülebileceği gibi, hem iki terimli hem de Poisson dağılımları için kabaca bir kural, dağılımın ortalamasının 5’ten büyük veya ona eşit olması koşuluyla normal yaklaşımın tatmin edici olması gerektiğidir.
Merkezi limit kuramı Merkezi Limit Teoremi formülü Merkezi limit teoremi için gerekli şartlar Merkezi limit teoremi ispat Merkezi Limit Teoremi ispatı Merkezi Limit Teoremi örnek Sorular Merkezi Limit Teoremi özellikleri Merkezi limit teoreminin istatistikteki önemi