Metropolis – Hastings Algoritması – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
Bayes Hesaplama
Uzun süre Bayes tekniklerinin yaygın kullanımının önündeki ana engel, arka çıkarımla ilgili farklı integrallerin hesaplanmasındaki zorluktu. Belirli modeller için önceki ailelerin uygun seçimi, örneğin (11.1) ‘deki normalleştirme integralinin hesaplanması gerekliliğini ortadan kaldırabilir, ancak bu, kesinlikle çok parametreli ayarlarda oldukça istisnai bir durumdur.
Simülasyon tabanlı tekniklerin geliştirilmesi ile bu zorluk ortadan kalkmıştır. MCMC yöntemleri, Bayes tekniklerinin kullanımını büyük ölçüde popüler hale getirmiştir. Burada daha popüler iki MCMC yöntemini kısaca tartışıyoruz: Gibbs örnekleyici ve Metropolis – Hastings algoritması. Daha fazla ayrıntı, örneğin, Carlin ve Louis’in (2000) 5. bölümünde bulunabilir.
Metropolis – Hastings Algoritması
Metropolis – Hastings algoritmasının temel fikri özellikle basittir. Biri, bir θ1, θ2, … dizisini şu şekilde simüle eder: bir başlangıç noktası θ 1 ile başlayarak, bir sonraki durum θ (i +1), önce bir teklif yoğunluğu q (θ) ‘den bir aday nokta θ ∗ örneklenerek seçilir. ∗ | θ (i)) mevcut duruma θ (i) bağlıdır. Teklif yoğunluklarının örnekleri, ortalama θ (i) ve uygun seçilmiş bir kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılım olabilir. Θ ∗ adayı nerede αi olasılığı ile kabul edilir.
Aday kabul edilirse, sonraki durum θ (i + 1) = θ ∗ olur, aksi takdirde zincir θ (i + 1) = θ (i) olarak kalır. Hem ret hem de kabul, algoritmanın yinelemesi olarak sayılır. Posterior (11.1) 0 olan bir aday örneklendiğinde, f (y | θ ∗)> 0 olan bir aday elde edene kadar örneklemeye devam etmeliyiz.
Dikkat çekici bir şekilde, bazı düzenlilik koşulları altında, durağan dağılım, Markov zincirinin hedef dağılımı olarak adlandırılan, tam olarak posterior dağıtımdır π (θ | y). Teklif yoğunluğu rastgele seçilebilse de, yakınsama büyük ölçüde teklif yoğunluğuna bağlıdır.
Bir yandan, posteriorun desteğinden uzak yerlere büyük sıçramalar içeren bir teklif yoğunluğu düşük kabul oranına sahiptir ve Markov zincirinin çoğu zaman hareketsiz kalmasına neden olur. Öte yandan, küçük sıçramalara ve yüksek kabul oranına sahip bir teklif yoğunluğu, zincirin yavaş hareket etmesine ve tek bir durumda sıkışmasına neden olabilir.
Yine de, bu algoritmanın büyük bir avantajı, sadece π (θ ∗ | y) / π (θ (i) | y) formundaki oranlar aracılığıyla arka yoğunluğa bağlı olmasıdır. Bu nedenle, arka yoğunluğun yalnızca bir orantı sabitine kadar bilinmesi gerekir.
Metropolis algoritması
Monte Carlo simülasyon yöntemi nedir
Monte Carlo Benzetimi
Metropolis–Hastings algorithm
Gibbs Örnekleyici
Geman ve Geman (1984) tarafından sunulan Gibbs örnekleyici, alternatif bir koşullu MCMC algoritmasıdır. Aşağıdaki gibi Metropolis – Hastings algoritmasının özel bir durumu olarak kabul edilebilir. Θ = (θ1,…, Θp) parametrik bir vektörü düşünün.
Gibbs örnekleyicisinin bir yinelemesi, p koordinatları θ1, üzerinden döngüden oluşur. θp tüm diğerlerinin değerleri üzerine koşullu bir koordinat örneği çizer.
Her yineleme adımı için, diyelim ki, p adımı vardır. P koordinatlarının önceden belirlenmiş bir sıralamasıyla, her bir θ (i), θ’nin diğer tüm bileşenleri verildiğinde koşullu dağılımdan j örneklenir. Öyleyse bir dizi değer verildiğinde {θ (i),. . . , θ (i)}, 1p algoritması şu şekilde ilerler:
Θ (i + 1) ∼ π (θ | θ (i),…, Θ (i), y) 112p çizin
Θ (i + 1) ∼ π (θ | θ (i + 1), θ (i),…, Θ (i), y) 2213 p çizin.
Θ (i + 1) ∼ π (θ | θ (i + 1),.., Θ (i + 1), y) çizin. p p1 p − 1
Karşılık gelen kabul olasılığının birliğe eşit olduğu kanıtlanabilir, böylece her sıçrama bu nedenle Gibbs örneklemesi için kabul edilir. Ayrıca Gibbs örneklemesinin bazı Metropolis adımları ile birleştirilmiş olasılığından da söz ediyoruz.
Tek Değişkenli Çıkarım
Bu bölümde, Bölüm I’de ele alınan en önemli modellere, yani blok maksimuma dayalı GEV’nin uygunluğuna, ardından eşik üzerinden pik verilerini dikkate alan farklı yöntemlere değineceğiz. Bölümün sonunda, bu temel modellerin uygun kuyruk uyumlarına ek olarak iyi global uyum sağlamak için kullanılabilecek bazı uzantılarını da ele alacağız.
Blok maksimumlarına dayalı çıkarım
Yukarıda açıklanan Bayes metodolojisinin blok maksimumları mevcut olduğunda kullanımını göstermek için, yine 2.2 ve 5.1 numaralı bölümlerde ele alınan, Belçika’daki Meuse nehrinin yıllık maksimum deşarjlarını ele alıyoruz.
Olasılık Modeli
Yi | σ, γ, μ ∼ GEV (σ, γ, μ), i = 1, …, 85,
Yi, i tarafından endekslenen yıl için maksimum değeri gösterir. Burada, θ = (σ, γ, μ) ve önceki bir dağıtım olarak, burada önceki MDI’yı seçiyoruz;
π (θ) = expE {logf (Y | θ)} ∝ 1e − ψ (1) (1 + γ) σ
ψ (1) Euler sabitini gösterir. Jeffreys’in GEV durumunda önceliği oldukça karmaşıktır ve yalnızca γ> −0.5 olduğunda mevcuttur.
Metropolis – Hastings algoritmasını, teklif yoğunluğu q çok değişkenli normal açık (log σ, μ, γ) olarak alınan bağımsız bileşenler ve ilgili standart sapmalarla kullanıyoruz.
logσ ∗ = logσ (i) + 0.01ε1
μ ∗ = μ (i) + 10ε2
γ ∗ = γ (i) + 0.01ε3
burada (ε1, ε2, ε3) bağımsız standart normal olarak dağıtılmış rasgele değişkenleri gösterir. Algoritmanın daha verimli çalışması için q’nun tanımlamasındaki varyans değerleri küçük bir deneme yanılma sonrasında seçilmiştir. (Σ, μ, γ) = (500, 1200, 0.01) ile ilklendirildiğinde, zincirin 15.000 yinelemesinin ürettiği değerler Şekil 11.1’de gösterilmiştir.
Bunun yerine q, log-posterior’dan bilgi matrisi tarafından belirlenen kovaryans matrisi ile üç değişkenli normal dağılım olarak alınırsa yakınsama hızlandırılabilir. Şekil 11.2’de, GEV parametrelerinin tahmini arka yoğunluklarını (σ için orijinal ölçekte) ve 100 yıllık getiri seviyesi qY, 0.01 gösteriyoruz. 100 yıllık geri dönüş seviyesinin tahmini arka yoğunluğu, GEV kuantil fonksiyonundan elde edilir.
σ, γ ve μ’yi ilgili posterior gerçekleştirmeleriyle değiştirerek. % 95 hpd güven bölgeleri ile birlikte ortalama arka tahminler şu şekilde verilmektedir:
μˆ = 1264 (1156, 1385), σˆ = 471 (400, 547), γˆ = −0.075 (−0.200, 0.072), qˆ0.01 = 3109 (2711, 3809).
Şekil 11.3’te, y verilen bir gelecek gözlemi Ym + 1’in tahmini posterior tahmin dağılımını ve buna karşılık gelen posterior prediktif 0.99 kuantilini gösteriyoruz. Bu tahminler sırasıyla (11.4) ve (11.5) boyunca elde edilir.
