PARAMETRE TAHMİNİ – Epidemiyolojide Biyoistatistiksel Yöntemler – Biyoistatistikler – Epidemiyoloji – Biyoistatistikler Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
PARAMETRE TAHMİNİ
Önceki bölümde genel olarak dağılımların özelliklerini ve özel olarak da normal, ki-kare, binom ve Poisson dağılımlarının özelliklerini tartıştık. Bu dağılımlar ve diğerleri, pratikte genellikle bilinmeyen parametrelerle karakterize edilir. Bu, çalışma verilerinden bu tür parametrelerin nasıl tahmin edileceği sorusunu gündeme getirmektedir.
Bazı uygulamalarda tahmin yöntemi sezgisel olarak açık görünmektedir. Örneğin, bir madeni paranın tura çıkma olasılığını tahmin etmekle ilgilendiğimizi varsayalım. Bu soruyu araştırmak için yapılan bir “çalışma” basittir ve madeni parayı r kez atmayı ve a ile gösterilecek bir miktar olan tur sayısını saymayı içerir.
R’nin ne kadar büyük olması gerektiği sorusu Bölüm 14’te cevaplanmıştır. İniş başlarının oranı a / r bize madeni para hakkında bir şeyler söyler, ancak daha derinlemesine araştırma yapmak için bir olasılık modeline ihtiyacımız var, açık seçim Binom dağılımı verilir.
Buna göre, A, (π, r) parametreli bir iki terimli rasgele değişken olsun, burada coin, madalyonun tura çıkacağı bilinmeyen olasılığı gösterir. Π parametresi hiçbir zaman kesin olarak bilinemese de, çalışma verilerinden tahmin edilebilir. Binom modelinden, mevcut çalışmada gerçekleşme a / r olan rastgele değişken A / r tarafından bir tahmin verilir.
A / r’yi πˆ ile gösteriyoruz ve πˆ’ya π’nin (nokta) tahmini olarak atıfta bulunuyoruz. Bazı istatistik literatüründe,, π’nin bir tahmin edicisi olarak adlandırılır ve tahmin terimi, a / r’nin gerçekleştirilmesi için ayrılmıştır. Rastgele değişkenler ve gerçeklemeler arasındaki ayrımı kasıtlı olarak görmezden gelme kuralımıza uygun olarak, her iki niceliğe atıfta bulunmak için tahmini kullanırız.
Binom dağılımları teorisi, π ‘nin bir tahmini olarak properties’ nin özelliklerine ilişkin fikir verir. A’nın ortalama E (A) = πr ve varyans varyansı (A) = π (1 − π) r olduğu için, πˆ’nin ortalama E (πˆ) = E (A) / r = π ve varyans varyansı (πˆ) = var (A) / r2 = π (1 – π) / r.
Yazı tura atma çalışması bağlamında, πˆ’nin bu özellikleri aşağıdaki yorumlara sahiptir: Çalışmanın her biri yanıtlara dayalı birçok tekrarlaması boyunca, πˆ’nin gerçekleşmeleri π’ye yakın olma eğiliminde olacaktır; ve r büyük olduğunda, π’nin her iki tarafında gerçekleşmelerin küçük bir dağılımı olacaktır. İkinci yorum, madalyonun birçok atışı olduğunda π’nin daha doğru tahmin edileceğine dair sezgimiz ile tutarlıdır.
Yukarıdaki örnek motivasyon olarak, şimdi genel parametre tahmini problemini ele alıyoruz. Basit olması için tartışmayı ayrı bir rastgele değişken açısından çerçevelendiriyoruz, ancak aynı fikirler sürekli durum için de geçerlidir. Bir olasılık fonksiyonu P (X = x | θ) tarafından yönetilen bir popülasyonun bir özelliğini incelemek istediğimizi varsayalım, burada θ parametresi ilgilenilen karakteristiğe sahiptir.
Örneğin, bir nüfus sağlığı anketinde, X rastgele seçilen bir bireyin serum kolesterolü olabilir ve θ, popülasyondaki ortalama serum kolesterolü olabilir. X1, X2, olsun. . . , Xn, P olasılık fonksiyonundan (X = x | from) n büyüklüğünde bir örnek olabilir. Θˆ ile gösterilen bir (nokta) est tahmini, Xi cinsinden ifade edilen ve aşağıda tartışıldığı gibi belirli özellikleri karşılayan rastgele bir değişkendir.
Parametre tahmini nedir
Parametre tahmini örnekleri
Parametre tahmin yöntemleri
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI ve tahmin etme
Normal dağılım parametre tahmini
En çok olabilirlik tahmin edicisi
Aralık tahmini
Nokta tahmini nedir
Önceki örnekte anket, popülasyondan rastgele n sayıda birey örneklenerek ve serum kolesterolü ölçülerek yürütülebilir. Θˆ için numunedeki ortalama serum kolesterolü olan X = (n X) / n kullanmayı düşünebiliriz.
Θˆ ‘nin karşılanması gereken özellikleri belirtirken önemli bir enlem vardır, ancak bir tahmin teorisinin anlamlı olabilmesi için özellikler, chosen’nin bir anlamda θ hakkında bilgi verici olacak şekilde seçilmesi gerekir. Θˆ sahip olmak istediğimiz ilk özellik, “yakın” θ gerçekleşmelerle sonuçlanması gerektiğidir.
Herhangi bir çalışmada bunu garanti etmek imkansızdır, ancak çalışmanın birçok tekrarında bu özelliğin “ortalama” olarak kalmasını istiyoruz. Buna göre, θˆ ortalamasının θ, yani E (θˆ) = θ olmasını istiyoruz. Bu özellik tatmin edildiğinde,’nin θ’nin tarafsız bir tahmini olduğunu söyleriz, aksi takdirde θˆ’nin önyargılı olduğu söylenir.
Θˆ’nın sahip olmasını istediğimiz ikinci özellik, verileri olabildiğince verimli kullanması gerektiğidir. İstatistikte, verimlilikle ilgili kavramlar genellikle varyans cinsinden ifade edilir. Yani, diğer tüm şeyler eşit olduğunda, varyans ne kadar küçükse, verimlilik o kadar büyük olur. Buna göre, belirli bir örneklem büyüklüğü için, var (θˆ) ‘nın olabildiğince küçük olmasını isteriz.
Yazı tura atma çalışmasında parametre θ = π idi. A1, A2, izin vererek önceki olasılık modelini yeniden formüle edebiliriz. . . , Her biri parametrelere (π, 1) sahip bağımsız bir binom rastgele değişkenler olabilir.
A = (n A) / n olarak ayarlamak πˆ = A, i = 1 i ve dolayısıyla E (A) = π ve var (A) = π (1 – π) / n. Diyelim ki A yerine A1’i π tahmini olarak kullanmaya karar verdik; yani, madalyonun ilk atışı dışında her şeyi görmezden geliriz. E (A1) = π olduğundan, hem A hem de A1, π için tarafsız tahminlerdir.
Ancak, var (A1) = π (1 – π) ve böylece, n> 1, var (A1)> var (A) sağlanır. Bu, A’nın A1’den daha verimli olduğu anlamına gelir. Yukarıdaki kriterlere dayanarak, π tahmini olarak A1 yerine A’yı seçerdik.
A1 yerine A’yı seçme kararı, varyansların karşılaştırılmasına dayanıyordu. Bu, (1 − π) / n’den bile daha küçük bir varyansa sahip başka bir tarafsız π tahmini olup olmadığı sorusunu gündeme getirir. Şimdi rasgele bir olasılık fonksiyonu P (X = x | θ) genel durumuna dönüyoruz.
Epidemiyolojide karşılaşılan olasılık fonksiyonlarının çoğu için, herhangi bir tarafsız tahmin for için eşitsizlik değişkeni (θˆ) ≥ b (θ) karşılanacak şekilde bir b (θ) sayısı olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak, b (θ) en azından herhangi bir tarafsız θ tahmininin varyansı kadar küçüktür. Verilen θ ve P (X = x | θ) için gerçekte bu kadar küçük bir varyansa sahip tarafsız bir tahminin var olduğuna dair hiçbir garanti yoktur; ancak, bir tane bulabilirsek, tahminin mümkün olan en küçük varyansa sahip olması gerekliliğini açıkça yerine getirmiş olacağız.
Binom dağılımı için, b (π) = π (1 – π) / n olduğu ve dolayısıyla b (π) = var (πˆ) olduğu ortaya çıkar. Sonuç olarak πˆ, mümkün olan en küçük varyansla (tarafsız tahminler arasında) π’nin tarafsız bir tahminidir. İki terimli dağılım için, sezgi, πˆ’nin makul bir est tahmini sağlaması gerektiğini öne sürüyor ve’nin tam olarak ihtiyacımız olan özelliklere sahip olduğu ortaya çıkıyor.
Bununla birlikte, bir tahmini tanımlamanın bu tür geçici yöntemlerine her zaman güvenilemez, özellikle olasılık modeli karmaşık olduğunda. Şimdi, asimptotik koşulların sağlanması koşuluyla, tahminin istenen özelliklere sahip olmasını sağlayan yaygın olarak kullanılan iki tahmin yöntemini ele alıyoruz.
Aralık tahmini En çok olabilirlik tahmin edicisi Nokta tahmini nedir Normal dağılım parametre tahmini ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI ve tahmin etme Parametre tahmin yöntemleri Parametre tahmini nedir Parametre tahmini örnekleri