Spektral Ölçü – Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
Üslü Ölçü
Birleşik kuyruk modeli (9.99) tutarsa, o zaman maksimum kararlı bir dağılımın üs ve spektral ölçülerinin uygun analogları vardır. Başlangıç noktası basit bir gözlemdir.
for0 <zj <∞ (j = 1,2) .G (z, z) = g ∗ (1/2) = 1for0 <z <∞ olduğunu gösterir. Şimdi 0 <t <∞ için, (0, ∞) 2 üzerinde pozitif bir ölçü t (·) tanımlayın.
Borel B kümeleri için (0, ∞) 2. Daha sonra (9.102), t → ∞ olarak t {(z1, ∞) × (z2, ∞)} yakınsamasını belirtir. Şimdi, (8.71) veya (8.94) 'e yol açanlara benzer argümanlarla, bu, (0, ∞) 2 üzerinde pozitif bir ölçümün olduğu anlamına gelir.
{(z1, ∞) × (z2, ∞)} = g ∗ {z1 / (z1 + z2)} z − c1 z − c2 (9.103) 12
0 <zj <∞ (j = 1,2) ve böyle
t (·) → v ast → ∞in (0, ∞] × (0, ∞], (9.104)
Belirsiz yakınsamayı ifade eden '→ v' ile (Kallenberg 1983; Resnick 1987). (9.104) 'te koordinat eksenlerinin (8.94)' ün aksine hariç tutulduğuna dikkat edin. Bunun nedeni, η t, Z2> t] = {L (t, t)} – 1t1 / η, (8.94) ‘de μ ∗ t tanımındaki t faktörü. Diğer bir deyişle, eksenlerden birini veya her ikisini kucaklayan B kümeleri için, η t, Z2> t] (t − 1 ·) (9.105)
yeterince büyük 0 <t <∞. Bu yaklaşım, (Z1, Z2) 'nin iki değişkenli kuyruğu üzerindeki istatistiksel çıkarım prosedürlerinin temelini oluşturur, aşağıya bakınız.
Açıkça, denklem (9.103) şunu ima eder:
{(sz1, ∞) × (sz2, ∞)} = s − 1 / η {(z1, ∞) × (z2, ∞)},
için0 <s <∞ve0 <zj <∞ (j = 1,2) .Tüm türdeki benzer üçgenler (z1, ∞) × (z2, ∞), (0, ∞) 2'de ölçü belirleyici bir sınıf oluşturur,
(s ·) = s − 1 / η (·), 0 <s <∞. (9.106) Özellik (9.106), μ üs ölçümünün karşılık gelen homojenlik özelliği (8.11) ile karşılaştırılmalıdır.
Spektral Ölçü
(0, 1) üzerinde H ölçüsünü tanımlayın. 0 <r <∞ ve Borel için B (0, 1) 'de. Denklem (9.108), ölçüsünün, sözde kutupsal koordinatlar T (z1, z2) = (r, w) ile r = z1 + z2 vew = z1 / (z1 + z2) ile ifade edildiğinde ürün ölçüsü olarak çarpanlara ayırdığını ima eder, yani,
T −1 (dr dw) = η − 1r − 1 / η − 1dr H (dw).
Bu, (8.17) 'de üssel ölçü μ ∗ için spektral ayrışmayla karşılaştırılacak 'nin spektral ayrışmasıdır. H ölçüsü, 'nin spektral ölçüsüdür.
Spektral ayrışma (9.109),
0 <zj <∞ (j = 1, 2), {(z1, ∞) × (z2, ∞)} ∞
Bunu (9.103) ile karşılaştırmak, 0 <w <1 için verir. G ∗ (1/2) = 1 olduğu için, H spektral ölçüsünün sağlaması gerektiğini buluruz
kısıtlama, yoğunluk λ (z1, z2) ile mutlak olarak süreklilik arz ediyorsa, o zaman H da mutlak süreklidir ve yoğunluğu h, aşağıdaki gibi g ∗ ve (c1, c2) 'den hesaplanabilir. Dönüşümün Jakobiyeni (z1, z2) → (r, w) = (z1 + z2, z1 / (z1 + z2)) r − 1'e eşittir. Bu nedenle, çok değişkenli değişken değişiklikleri formülü ile,
λ (z1, z2) = η − 1r − 2−1 / ηh (w).
Ayrıca λ (z1, z2) = ∂2 {(z1, ∞) × (z2, ∞)} / ∂z1∂z2 olduğundan, 0 <w <1 elde ederiz. Bu türev, L için parametrik modeller belirlerken gösterir. (9.99) 'da ve dolayısıyla g ∗ için, ortaya çıkan spektral yoğunluğun h gerçekten pozitif olmasına dikkat edilmelidir.
Tatmin edici parametrik modelleri belirlemenin daha basit bir yolu (9.99), doğrudan spektral ölçüdür (Ramos 2003). 0 <η ≤ 1 ise ve H, (0, 1) tatmin edici (9.107) üzerinde pozitif bir ölçüm ise, (9.110) 'un sağ tarafında 1 1 ile sınırlı olduğu gibi ortak hayatta kalan fonksiyonu ile bir olasılık dağılımı tanımlayabiliriz. zj <∞ (j = 1, 2). Bu hayatta kalan işlevi, iki değişkenli yavaş değişen işlevle (9.100) 'deki gibi yazılabilir.
for1≤zj <∞ (j = 1,2), whoselimitfunction, g ̃η, H, isqualtothee in the right-hands of the nextquation extended to all0 <zj <∞ (j = 1,2). Dahası, karşılık gelen ışın bağımlılığı fonksiyonu g ̃ ∗ η ise, H düzenli olarak 0 ve 1'de κ ve −κ indisleri ile değişir, sonra Lη, H'yi (9.101) çevirerek tanımlayabiliriz ve sonunda gösterime (9.100) götürür.
(9.104) ile, spektral ölçü H, Z1 / (Z1 + Z2) 'nin dağılımı ile ilişkilendirilebilir, çünkü hem Z1 hem de Z2'nin anlamı bakımından büyüktür.
açık aralıkta (0, 1). Özellikle, H, h spektral yoğunluğu ile mutlak süreklilik arz ediyorsa, o zaman 0 <w0 ≤w1, η z1, Z2> z2] = {1 – ifade (−1 / z1)} {1 – ifade (−1 / z2)} = L (z1, z2) (z1z2) −1,
burada L (z1, z2) ışından bağımsız, iki değişkenli yavaş değişen bir fonksiyondur. Özellikle c1 = c2 = 1 ve η = 1/2. (9.116) ile spektral yoğunluk h (w; 1/2) = 2−1 {w (1 – w)} – 2 olarak verilir.
Örnek 9.6
Rastgele çiftin (X1, X2) standart normal kenar boşlukları ve korelasyonu −1 <ρ z1, Z2> z2] = L (z1, z2; ρ) (z1z2) −1 / (1 + ρ),
L (z1, z2; ρ) ile ışın bağımsız, iki değişkenli yavaş değişen fonksiyon. Dolayısıyla c1 = c2 = 1 / (1 + ρ), η = (1 + ρ) / 2 ve spektral yoğunluk h {w; (9.116) ‘daki gibi (1 + ρ) / 2} olur.
Örnek 9.7
(Z1, Z2), standart Fre ́chet marjları ve üs ölçüsü μ ∗ olan iki değişkenli bir uç değer dağılımına sahip olsun, yani P [Z1 ≤ z1, Z2 ≤ z2] = exp {−V ∗ (z1, z2)} 0 <zj z1, Z2> z2] = 1 – exp (−1 / z1) – exp (−1 / z2) + exp {−V ∗ (z1, z2)}. Z1 ve Z2’nin bağımsız olmadığını, yani χ = 2 – V ∗ (1, 1)> 0 olduğunu varsayalım.
(8.11) ‘den μ ∗’nin −1 mertebesinden homojen olduğunu hatırlayarak,
P [Z1> t, Z2> t] ∼t − 1χ, t → ∞,
