Marjinal Dönüşümler Yöntemi – İstatistik Alanları- İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik – İstatistik Yaptırma
Poisson-Poisson, Poisson-binomial ve Poisson-Bernoulli yöntemleri
X’in bir Poisson dağılımına sahip olduğunu varsayalım. Zi’ye izin vererek (i.i.d olduklarını varsayarak),
• Zi’nin Bernoulli dağılımına sahip olduğu Poisson-Bernoulli modeli [Leiter ve Hamdan (1973)].
• Zi’nin binom dağılımına sahip olduğu Poisson-Binom modeli [Cacoullos ve Papageorgiou (1980)].
• Zi’nin Poisson dağılımına sahip olduğu Poisson-Poisson modeli [Leiter ve Hamdan (1973)].
• Zi geometrik bir dağılıma sahip olduğu zaman Poisson-geometrik modeli [Papageorgiou (1985b)].
Negatif binom-Poisson ve negatif binom-Bernoulli modelleri
Birçok yazar [bkz. Kemp (1970)], kaza sayısının negatif bir iki terimli (yani, A parametresi bir gama dağılımına sahip olan Poisson dağılımı) ile daha yeterli şekilde tanımlandığına dikkat çekmiştir. Bu nedenle CacouUos ve Papageorgiou (1982), X’in negatif bir binom dağılımına sahip olduğunu varsayarak aşağıdaki iki değişkenli dağılımı oluşturdu.
• Zi’nin Poisson dağılımına sahip olduğu negatif binom-Poisson modeli.
• Z’nin Bernoulli dağılımına sahip olduğu negatif binom-Bernoulli modelleri. (X, Y) ortak dağılımı, Edwards ve Gurland’ın (1961) iki değişkenli negatif iki terimli özel bir durumudur.
Ağırlık Fonksiyonlarından Elde Edilen İki Değişkenli Dağılımlar
F {x, y), {X ^ Y) ‘nin olasılık fonksiyonu olsun. Kocherlakota (1995) ve Gupta ve Tripathi (1996) ağırlık fonksiyonu W {x, y) ile ağırlıklı dağılımın olasılık fonksiyonunu özellikle formun çarpımsal ağırlık fonksiyonunu;
T ^ (x, y) = x (^ V ^ \
burada x ^^ ^ = x {x – 1) • • • (x – a +1). Ağırlıklı iki değişkenli Poisson, ağırlıklı iki değişkenli iki terimli, ağırlıklı iki değişkenli negatif iki terimli ve ağırlıklı iki değişkenli logaritmik seri dağılımları bu yöntemle elde edildi.
Rasgele değişkenlerin dönüşümleri
Çok Değişkenli dönüşümler
Dağılım fonksiyonu Tekniği
Rasgele değişkenlerin fonksiyonları
İki boyutlu rasgele değişkenler
Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve olasılık dağılım fonksiyonu
Olasılık dağılım fonksiyonu Nedir
Sürekli rassal değişkenlerin olasılık dağılım fonksiyonları
Marjinal Dönüşümler Yöntemi
Başka bir sürekli iki değişkenli dağıtımdan sürekli bir iki değişkenli dağılım oluşturmak için marjinal dönüşüm yöntemi kolaylıkla uygulanabilir. (X, Y) ‘nin marjinal F {x) ve G {y) ile ortak bir kümülatif dağılım fonksiyonu H {x, y) olduğunu varsayalım. X – ^ X * ve y -> y * ‘yi dönüştürürsek, (X *, Y *) ortak dağılım fonksiyonu şu şekilde verilir:
H * {x *, y *) = H {F – ‘[F * {x *)], G- \ G * {y *)]), (3.33)
burada F * ve G * sırasıyla X * ve Y * ‘nin dağılım işlevleridir. Bu yöntemin anahtarı, U = F {X), V = G {Y) ve [/ ‘= F * (X *), F’ = G * {Y *) tümünün tekdüze olarak dağıtılması gerçeğinde yatmaktadır. sürekli marjinaller için. Bu nedenle, ayrık rasgele değişkenler tek tip rasgele değişkenlere dönüştürülemediğinden, yöntem ayrık iki değişkenli dağılımlar oluşturmak için kolayca uygulanamaz.
H {x, y) sürekli ise yöntemin taşınabilir olduğu, halbuki X * ve y * sonlu veya sayılabilir değerlere sahip iki ayrı rasgele değişkendir. Daha sonra / f * (x *, y *) olarak ifade edilebilir.
Van Ophem (1999), h {x ^ y) ‘nin p korelasyon katsayısı ile standart iki değişkenli normal yoğunluk fonksiyonu olduğunu varsayarak, bu şekilde ayrık iki değişkenli bir dağılım oluşturmuştur. Lee (2001), ayrık iki değişkenli bir dağılımın korelasyon katsayılarının aralığını türetmiş ve Van Ophem’in (1999) ayrık iki değişkenli dağılımının esnek bir korelasyon katsayısına sahip olduğunu göstermiştir.
Kesme Yöntemleri
Sürekli karşılığına benzer şekilde, kesikli iki değişkenli dağılımlar elde edilebilir. Veri setlerinde belirli değerlerin eksik olduğu veya kaydedilemediği durumlarda kesmeler gerekli olabilir. Piperigou ve Papageorgiou (2003), üç tür sıfır sınıf kesmenin birleşik bir muamelesini yaptı:
• Sıfır hücresi (0,0) kaydedilmez.
• X, {(0, y), y = 0,1, …} değişkeni için sıfır sınıfı kaydedilmez.
• Hem X hem de F için sıfır sınıfı, {(0, y), y = 0,1, …; (x, 0), x = 0,1, …} kaydedilmez.
Olasılık üreten fonksiyon yaklaşımını kullanarak, kesik kesik iki değişkenli dağılımların çeşitli özellikleri incelenir.
Pozitif Bağımlı Ayrık İki Değişkenli Dağılımların İnşası
İki değişkenli dağılım için çeşitli pozitif bağımlılık kavramları vardır. Burada bunlardan sadece ikisini ele alıyoruz.
Aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, X ve F, bir çift rastgele değişken, pozitif olarak çeyreğe bağımlı (PQD) olduğu söylenir.
Pr (X <x, Y Pr (X <x) PT {Y x \ X = x) her y için x cinsinden artıyorsa Y değişkeninin X üzerinde pozitif regresyon bağımlı (PRD) olduğu söylenir.
Diğer stokastik bağımlılık kavramları için, örneğin görülebilir. Hutchinson ve Lai’nin 12. Bölümü (1990).
Pozitif kadrana bağlı dağılımlar
Bir çift PQD ikili değişkeninin inşası ile başlayacağız. Bir ikili rastgele değişken, çalışan veya çalışmayan bir bileşenin (veya bir sistemin) durumunu belirtmek için kullanılabilir. Daha spesifik olarak, ikili değişken Xi’nin i’inci bileşenin durumunu göstermesine izin veriyoruz.
O halde, Pr (X ^ = 1) bileşenin belirli bir andaki statik güvenilirliğidir. X ve Y’nin, aşağıdaki şekilde verilen ortak olasılık fonksiyonuna sahip iki aynı dağıtılmış ikili rasgele değişken olduğunu varsayalım:
Pr (X = 0) = a + 6, Pr (X = 1) = 1-a-6
Pr (F = 0) = a + 6, Pr (y = 1) -1-a-fe.
Şimdi aşağıdaki gibi bir çift PQD ikili değişken oluşturmaya devam ediyoruz.
Açıkça, (x, y) = (0,1), (1,0) veya (1,1) için, eşitsizlik (3.35) herhangi bir koşul gerektirmeden kolayca geçerli olur. Bu nedenle, X ve Y ikili çifti pozitif olarak çeyreğe bağlıdır, ancak ve ancak
Pr (X = 0, F- 0)> Pr (X = 0) Pr (y = 0) (3.37)
Bu koşula eşdeğer olan (a + bf <a. (3.38) Verilen 6, 0 <6 <1 için, (3.38) 'in geçerli olması için a'yı çözebileceğimiz açıktır. Bunu göstermek kolaydır.
Şimdi, X ve Y, Pr (X = i ^ Y = j) = pij ^ i = 1,2, …, r ve j = 1,2, .. olan iki ayrı, negatif olmayan tam sayı değerli rastgele değişkenler olsun.
Pi ^ ij + iFriX <i, Y Pr (X <i, Y = j + l) Pr {X = i + l, Y <j), (3.40)
sonra X ve Y PQD'dir. Böylece (3.40), bir çift ayrık PQD rastgele değişkeni oluşturmak için bir mekanizma sağlar.
Rao ve Subramanyam (1990), marjinal dağılımlar sonlu desteğe sahip olduğunda, tüm ayrık PQD iki değişkenli dağılımlar kümesinin uç noktalarını tanımlamak için bir mekanizma sağlamıştır. Sonlu marjinallere sahip PQD ayrık dağılımları oluşturmak için bu fikri kullanabileceğimizi görmek kolaydır.
