Üstel Varsayımın Değerlendirilmesi – Epidemiyolojide Biyoistatistiksel Yöntemler – Biyoistatistikler – Epidemiyoloji – Biyoistatistikler Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik
R deneklerinin açık bir kohort çalışmasını düşünün ve Bölüm 8.1’in gösteriminde, i. Konu için gözlem (ti, δi) olsun (i = 1,2, …, r). Bu verilerden λ ve α’yı tahmin etmek için maksimum olabilirlik yöntemleri kullanılabilir, ancak α = 1 durumu dışında kapalı form ifadeleri kullanılamaz.
Α = 1 olduğunda Weibull dağılımı üstel dağılımı basitleştirir, bu durumda S (t) = e − λt ve h (t) = λ. Üstel dağılım, tehlike fonksiyonunun tüm takip süresi boyunca sabit olduğu varsayımına dayanır. Bu varsayım açıkça çok güçlüdür ve çoğu zaman gerçekçi olmayacaktır.
Bununla birlikte, örneklem boyutu küçük olduğunda ve takip süresi nispeten kısa olduğunda, üstel dağılım, sansürlenmiş hayatta kalma verilerini analiz etmek için yararlı bir yaklaşım sağlar. Üstel dağılımın cazibesi, aşağıda gösterildiği gibi λ parametresinin kolayca tahmin edilmesidir. Üstel tehlike fonksiyonu, takip sırasında herhangi bir noktada aynı değere sahip olduğundan, üstel dağılımın “hafızasız” olduğu söylenir.
Kohorttaki ölüm sayısını gösterelim. Bu, a sembolünü kullandığımız 9. Bölümden itibaren bir not değişikliğini temsil eder. Bu kuralı, üstel ve Poisson dağılımlarına dayalı formülleri iki terimli yaklaşıma dayalı olanlardan ayırmanın bir yolu olarak benimsiyoruz.
Δi’nin tanımından hemen d = ri = 1 δi olduğu anlaşılır. Tanım olarak, i. Konu t zaman birimleri için gözlem altındaydı. Bu nedenle, tüm kohortun gözlem altında olduğu toplam süre n = ri = 1 ti’dir ve biz buna kişi-zaman miktarı diyoruz.
Örneğin, zaman yıl veya ay olarak ölçüldüğünde, n’nin sırasıyla kişi-yıl veya kişi-ay sayısı olduğu söylenir. N, tüm kohort üyeleri arasında bir toplam olarak tanımlandığından, bireysel deneklerin katkılarının etkin bir şekilde kaybolduğunu gözlemleyin.
Sonuç olarak, n yıl boyunca takip edilen 1 kişi ve 1 yıl boyunca takip edilen n kişinin her ikisi de n kişi yıllık gözlemle sonuçlanacaktır. Bu, yukarıda bahsedilen hafızasız özellik ile ilgilidir.
Beta dağılımı
Gumbel dağılımı
Üstel dağılım
Laplace dağılımı
Weibull dağılımı
Weibull dağılımı parametreleri
Üstel Exponential dağılım
Erlang Dağılımı
Λ parametresiyle üstel dağılımı düşünün. Konu i için, S (ti) = e λ λti ve h (ti) = λ ve dolayısıyla (8.5) ‘den itibaren koşulsuz olasılık, (10.1)’ den itibaren, λ, var (λˆ) ve S (t) ‘nin maksimum olasılık tahminleri ) = e − λt olur.
Örneğin, Şekil 8.1 (b), λˆ = 2/35 = .057, var (λˆ) = 2 / (35) 2 = (.040) 2 ve Sˆ (t) = exp (-. 057t). Bölüm 12’de “oran” teriminin epidemiyoloji boyunca çeşitli farklı türde parametreleri belirtmek için kullanıldığına işaret edilmektedir.
Yerleşik sözleşmelerin izin verdiği ölçüde, bu terimin kullanımını şu şekilde yorumlanan parametrelerle sınırlayacağız: belirli bir türdeki olay sayısının karşılık gelen kişi-zaman miktarına bölümü. Hız parametresi λ bu koşulu karşılar ve bu nedenle üstel bağlamda λ, tehlike oranı olarak anılacaktır.
Oranları olasılıklarla karıştırmamak önemlidir. Bu iki miktar arasındaki en büyük fark, bir oranın “birim zamanda” birimlere sahip olması, oysa olasılığın herhangi bir birim içermemesidir. Bir oranın mutlak büyüklüğü, seçilen belirli zaman birimlerine bağlıdır.
D = 5 (kişi) ve n = 1 kişi-yıl olduğunu varsayalım, bu durumda λˆ = 5 “yılda”. Bu daha çok “yılda kişi başına 5 ölüm” veya “yılda kişi başına 5 ölüm” olarak ifade edilir. 1 kişi-yılı 0,01 kişi-yüzyıllarla aynı olduğundan, λˆ = “yüzyıl başına” 500 eşit derecede doğrudur. Dolayısıyla, bir olasılık her zaman 0 ile 1 arasında iken, mutlak olarak uygun bir zaman birimi seçimiyle bir oran keyfi olarak büyük veya küçük yapılabilir.
Üstel Varsayımın Değerlendirilmesi
Grafiksel Değerlendirme
Üstel varsayımın geçerliliği, tahmini üstel sağkalım eğrisi Sˆ (t) = exp (−λˆt) ve Kaplan – Meier sağkalım eğrisi çizilerek ve ikincisinin görünüşte üstel görünüp görünmediğine sübjektif olarak karar verilerek grafiksel olarak değerlendirilebilir. Bir anlamda Kaplan-Meier eğrisini “gözlemlenen” sağkalım eğrisi olarak kullanıyoruz ve üstel modelden “uyumlu” sağkalım eğrisinin yeterli olup olmadığını belirliyoruz.
Cox-Oakes Üstellik Testi
Grafik yöntem genellikle oldukça açıklayıcıdır, ancak nesnellikten yoksun olduğu için eleştirilebilir. Cox ve Oakes (1984, s. 43) Weibull dağılımına dayalı bir üstellik testini açıklar. Kavram, Bölüm 4.6’daki doğrusal eğilim testini geliştirmek için kullanılana benzer. H0: α = 1 altında, Weibull dağılımı üstel dağılımı basitleştirir ve bu durumda λ’nın tahmini λˆ0 = d / n’dir.
İ’inci konuyu örneklem büyüklüğü 1 olan bir kohorta eşdeğer olarak düşünebiliriz. Bu açıdan δi, gözlemlenen ölümlerin sayısı, ti kişi-zaman miktarı ve eˆi = λˆ0ti, beklenen sayıdır. sıfır hipotezi altında ölümler. Eˆ • = ri = 1 λˆ0ti = λˆ0n = d olduğuna dikkat edin. Sˆ (t) = exp [- (λˆt) αˆ], gözlemler (ti, δi) için “en uygun” Weibull hayatta kalma eğrisi olsun ve si = log (λˆ 0 ti) olsun. Cox – Oakes üstellik testi olarak anılacak olan H0: α = 1 puan testi alır.
Büyük Xc2o değerleri, üstel varsayıma karşı kanıt sağlar. H0’ı reddetmemenin, hayatta kalmanın üstel olduğunu söylemekle aynı şey olmadığını anlamak önemlidir. Doğru yorum şu şekildedir: Verileri bir Weibull modeli kullanarak uydurmaya karar verdiğimiz için, H0’ı reddetmemek, üstel modeli (belirli bir Weibull modeli türü olan) seçmemek için hiçbir neden olmadığı anlamına gelir.
Bu, Kaplan-Meier eğrisini inceleyerek ve öznel bir yargıya vararak ele alınabilecek bir konu olan, ilk olarak bir Weibull modelini düşünmek için gerekçeler olması gerektiği anlamına gelir.
Örnek 10.1 (Meme Kanseri) Bu örnek için veriler Tablo 9.1’den alınmıştır. Göğüs kanseri hastaları kohortu için, d = 49 ve n = 9471. Üstel modele göre, λˆ = 49/9471 = 5,17 × 10−3 (kişi-ay başına ölüm); Wiebull modeli için λˆ = 8.01 × 10−3 ve αˆ = 1.49. Şekil 10.2 (a), bu veriler için üstel ve Kaplan – Meier hayatta kalma eğrilerini gösterir.
Takibin ilk 12 ayında çok az ölüm vardır ve bu Kaplan-Meier eğrisinin kademeli bir düşüşe başlamadan önce düzleşmesine neden olur. Bunun dışında üstel model, Kaplan – Meier sağkalım eğrisine oldukça iyi bir uyum sağlar. Şekil 10.2 (b) Weibull ve Kaplan – Meier sağkalım eğrilerini göstermektedir. Weibull modeli, özellikle ilk 12 ayda verilere üstel modelden biraz daha iyi uyuyor.
Beta dağılımı Erlang Dağılımı Gumbel Dağılımı Laplace dağılımı Üstel dağılım Üstel Exponential dağılım Weibull dağılımı Weibull dağılımı parametreleri