Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (36) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma

Ui = G (Yi; σ (xi), γ (xi), μ (xi)) ve U1, m ≤ ··· ≤ Um, m karşılık gelen sıra istatistikleri olup, noktaların yakınlığını incelemek için ilk köşegene ihtiyaç vardır.

Örnek 7.1 (devam) Şimdi, γ (pH) = exp (β0 + β1pH) olan GEV-Hall modelinin (7.4), yukarıda sunulan kuantil grafiklerini kullanarak koşullu Ca-maksima’yı ne kadar iyi tanımladığını değerlendiriyoruz. Şekil 7.2 (a) ‘da, genelleştirilmiş kalıntıların (7.5) Gumbel kuantil grafiğini gösteriyoruz. Küçük numune boyutunu ve pH aralığı üzerindeki alt numune boyutlarının yüksek değişkenliğini hesaba katarak GEV-Hall regresyon modelinin koşullu Ca-maxima dağılımını oldukça iyi tanımladığını söyleyebiliriz. Alternatif olarak, uyumu genelleştirilmiş artıkların (7.7) üstel nicelik grafiğine göre de değerlendirebiliriz.

Aşırı Koşullu Niceliklerin Tahmini

Ekstrem koşullu nicelik tahminleri, koşullu GEV dağılım fonksiyonunun tersine çevrilmesiyle ve bilinmeyen parametrelerin ilgili tahminlerle değiştirilmesiyle elde edilebilir.

Örnek 7.1 (devam) Koşullu Ca-maxima analizine devam ediyoruz. Ca-maksima dağılımının tahmini koşullu 0.95 niceliği, Şekil 7.3’te pH’ın bir fonksiyonu olarak verilmiştir. Bir gözlemin tahmini 0,95 niceliğini aştığını unutmayın (koşullu 0,95 niceliğinin üzerinde 30 gözlemden bir veya iki gözlem bekliyoruz).

GEV regresyon modelinin bir örnekteki en büyük değerin gerçek koşullu dağılımını yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılması durumunda, (7.8) koşullu maksimum dağılımın niceliklerini verir. Orijinal verilerin miktarları aşağıdaki kaynaklardan elde edilebilir:

• log (1 − p) n) −γ (x) −1􏰳, γ (x) ̸ = 0,
• log (1 − p) n), γ (x) = 0.

Nicelik Görünümü — Temel Alan Yöntemler

Üstel Regresyon Modelleri Model Açıklaması

Bu bölümde, Bölüm 4’te tanıtılan ardışık sıra istatistiklerinin log aralığı için üstel regresyon modelini regresyon durumuna genişletiyoruz. Bu yaklaşım yalnızca Pareto tipi yanıt dağılımları durumunda uygulanmıştır.

Y1, …, Yn i.i.d’yi düşünün. Dağıtım fonksiyonu F’ye göre rastgele değişkenler, burada F Pareto tipindedir, yani kuyruk kuantil fonksiyonu U karşılamaktadır.

• U (y) = yγlU (y), y> 1; γ> 0. (7,9)

Bölüm 4.4’ten, loglU bazı ρ <0 ve b ∈ Rρ için Cρ (b) ‘yi sağladığında, ardışık sıra istatistiklerinin log aralıklarının yaklaşık olarak şu şekilde temsil edilebileceğini biliyoruz.

• j (logY −logY)

Yani, E1,. . . Ek bağımsız standart üstel rastgele değişkenlerdir ve bn, k = b (n + 1). Ortak değişken bilgisi mevcut olduğunda, (7.9), γ ve muhtemelen lU’nun ortak değişkenlerin bir fonksiyonu olarak modellenmesiyle bir k + 1 regresyon modeline de  genişletilebilir.

Bu durumda, üstel regresyon modeli (7.10), özdeş olarak dağıtılmadıkları için yanıt gözlemlerine doğrudan uygulanamaz. Olası bir çözüm, yanıt gözlemlerini genelleştirilmiş artıklara dönüştürmek, böylece ortak değişkenlere olan bağımlılığı (en azından kısmen) ortadan kaldırmaktır. Bu genelleştirilmiş kalıntılar daha sonra başvuru için de temel oluşturur (7.10).

Nitelik ve nicelik Nedir
Nicelik Nedir
Fiziksel nicelikler sınıflandırma
Fiziksel nicelik nedir
Nicelik birimleri
Fiziksel nicelik örnekleri
Temel Büyüklükler
Fiziksel nicelikler nelerdir

Maksimum Olasılık Tahmini

Bağımsız rastgele değişkenler Y1’i düşünün. . . , Yn ile ilgili ortak değişken vektörler x1,. . . , xn öyle ki x verilen Y’nin koşullu dağılımı Pareto tipindedir, yani bazı γ (x)> 0 için;

• 1 – FY | x (y) = y − 1 / γ (x) lF (y; x). (7.11)

Yukarıda olduğu gibi, tamamen belirlenmiş bazı h fonksiyonları için β (x) = h (x; β) ayarladık ve reg regresyon katsayılarının bir vektörünü ifade ediyor. Ekstrem değer endeksi F dışında, FY | x’in ayrıca lF yoluyla ortak değişkenlere bağlı olabileceğini unutmayın. Y1’den beri. . . Yn aynı şekilde dağıtılmaz (7.10), ham girdi verilerine doğrudan uygulanamaz. Bununla birlikte, bağımlı değişkenlerin dönüştürülmesiyle, ortak değişkenlere olan bağımlılık en azından kısmen ortadan kaldırılabilir. Dönüşüm şu şekilde olacaktır;

• R = Y1 / γ (x)

Aşırı değer endeksini standartlaştırır:

• 1 – FR | x (r) = r − 1lF (rγ (x); x).

Daha sonra, (7.11) ‘i karşılayan dağıtım fonksiyonları sınıfını FY | x dağılımları ile sınırlandırıyoruz.

• lF (rγ (x); x) = lF (r), (7,13)

veya eşdeğer olarak, dönüşümün (7.12) x üzerindeki koşullanmayı tamamen ortadan kaldırdığı koşullu dağılım fonksiyonları sınıfına girer. (7.12) ‘ye Y1, …, Yn uygulanarak elde edilen rastgele değişkenler R1, …, Rn, açıkça bağımsız değildir (Yi bağımsız olduğundan) ve aynı şekilde dağıtılmıştır (γ ve lF artık x’e bağlı değildir).

Ri, i = 1,. . . n yine istatistiksel analizin temelini oluşturur. R1, ile ilişkili sipariş istatistiklerini gösteriyoruz. 

• Rn ile R1, n ≤ · · · ≤ Rn, n.

Log lU’nun bazı ρ <0 ve b ∈ Rρ için Cρ (b) ‘yi sağlaması durumunda, bölüm 4.4’tekilere benzer türevler kullanılarak, genelleştirilmiş artıkların log-aralıkları için aşağıdaki yaklaşık temsil Zj = j (logRn− ile önerilebilir. j + 1, n −logRn − j, n), bn, k = b (n + 1) ve E1, …, Ek k + 1 bağımsız standart üstel rasgele değişkenleri ifade eder. Regresyon katsayıları, maksimum olabilirlik yöntemi kullanılarak bn, k ve ρ ile birlikte tahmin edilebilir.

• Condroz verileri: koşullu Ca-maksima (daireler) ve tahmini koşullu 0,95 nicelikleri verir (kareler).
• Genelleştirilmiş kalıntıların grafiği. Condroz verileri: (a) Gumbel kuantil grafiği ve (b) üstel kuantili verir.
• pH seviyesi ve (c) profil log-olabilirlik fonksiyonu ve profil olasılığına dayalı% 95 güven aralıkları β1 için.
  Condroz verileri: (a) Ca-maxima’ya karşı pH seviyesi, (b) gözlem sayısını verir.

Olabilirlik fonksiyonunun, sıralı artıklar aracılığıyla regresyon katsayılarına bağlı olduğunu ve bu nedenle bölüm 4.4’tekinden daha karmaşık olduğunu unutmayın. (7.15) ‘in sayısal maksimizasyonu ile ilgili hesaplama detayları için, Beirlant ve Goegebeur (2003)’ e başvuruyoruz.

Regresyon katsayıları hakkında çıkarım, (log Lp (βˆ (0)) – log Lp (β ∗)) tarafından verilen profil log-olabilirlik oranı test istatistiği kullanılarak çizilir ve log Lp (β (0)) bazı alt kümelerin β profil log-olabilirlik fonksiyonunu gösterir. (0) / β. Bu istatistik H0 hipotezini test etmek için klasik olasılık oranı istatistiğine eşittir: β (0) = β ∗. Beirlant ve Goegebeur’da (2003) tartışıldığı gibi, 
test istatistiğinin sıfır dağılımına klasik χ2 yaklaşımı uygun değildir.

Bu nedenle, parametrik bir önyükleme prosedürü kullanarak referans dağıtımını simüle etmeyi öneriyoruz (Efron ve Tibshirani (1993)). Bootstrap örnekleri, β ∗ parametreleri ve ((0) verilen kalan regresyon katsayılarının (0) ∗ maksimum olasılık tahminleri ile katı bir Pareto dağılımından da üretilir.