Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (39) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Maksimum Cezalandırılmış Olasılık Tahmini
g, GP yoğunluk işlevidir. Cezalı log-olabilirlik işlevi iki terimin farkıdır. İlk terim, GP dağılımı için klasik log-olabilirlik fonksiyonudur, ikinci terim, büyüklüğü s ve t fonksiyonlarının entegre pürüzlülüğünü yansıtan bir ceza fonksiyonudur.
Düzeltme miktarı λ1 ve λ2 parametreleri tarafından belirlenir. Küçük λ1 ve λ2 için, (aşırı parametreleştirilmiş) log-olabilirlik ’ya hakim olur ve verileri yakından takip eden tahminlere yol açar. Λ1 ve λ2’nin artırılması, daha büyük cezalarla sonuçlanır ve dolayısıyla daha yumuşak uyum sağlar. Maksimum cezalandırılmış olasılık tahminlerinin hesaplanması, s ve t’nin tüm işlevsel alanı üzerinde ’nin maksimizasyonunu içerir.
Bununla birlikte, Green ve Silverman’ın (1994) 2.1 ve 2.2 bölümlerinde verilen doğal kübik eğrilerle ilgili temel teoremleri kullanarak, (7.22) ‘nin maksimizasyonunun, sonlu boyutlu bir sistemin maksimizasyonuna eşdeğer olduğu gösterilebilir. σi ve γi, i = 1, …, Nux, ardından tam s ve t eğrilerini oluşturmak için kübik bir eğri uydurma gerekir.
Green ve Silverman (1994) notasyonunu kullanarak, Q ve R bant matrislerini aşağıdaki gibi tanımlayın. Hi = xi + 1 −xi, i = 1, …, Nux −1 olsun. Q’yu qi, j, i = 1, …, Nux, j = 2, …, Nux −1, verilen ve R’yi a (Nux – 2) × (Nux × (Nux −2) olarak tanımlayın.
Son olarak, K = QR − 1Q ′ tanımlayın. (7.22) ‘nin s ve t’ye göre maksimizasyonu, s ve t’ye göre maksimizasyona eşdeğerdir.
Burada s ′ = (s (x1), …, s (xNux)) ve t ′ = (t (x1), …, t (xNux)), ardından tahminleri birbirine bağlamak için kübik spline uydurma . Maksimum cezalandırılmış olasılık tahmin edicilerinin sˆ ve ˆt kesinliği, önyükleme (Chavez-Demoulin (1999), Chavez-Demoulin ve Davison (2001)) tarafından veya cezalandırılmış olasılık işlevinin Bayesçi yorumuna bakın.
Örnek 7.1 (devam) Bölüm 7.4’te Condroz verileri, GP regresyon modelini (σ, exp (β0 + β1pH)) koşullu Ca aşımlarına uydurarak analiz edildi. Burada, parametrik olmayan bir γ (pH) tahmini elde etmek için maksimum cezalandırılmış olasılık tahmini kullanılacaktır. Bölüm 7.4’teki analize benzer şekilde, sabit ölçek parametresi σ alıyoruz.
Azami cezalandırılmış olasılık tahminleri σˆ ve ˆt, σ ve t’ye göre maksimize edilerek elde edilir. Maksimum cezalandırılmış olasılık tahmininin, bazı model parametreleri için tamamen parametrik spesifikasyonları kolayca barındırdığını unutmayın. Şekil 7.11 (a) ‘da, 0.9673 regresyon niceliğine göre 50 aşımı gösteriyoruz. Şekil 7.11 (b) parametrik GP (σ, exp (β0 + β1pH)) regresyon modelinin uydurulmasından elde edilen tahminle birlikte üç farklı λ değeri için for (pH) için maksimum cezalandırılmış olasılık tahminlerini içermektedir.
0.866 regresyon miktarı üzerinden 200 aşım için karşılık gelen sonuçlar Şekil 7.11 (c) ve (d) ‘de gösterilmektedir. Λ parametresini artırmanın ve dolayısıyla pürüzlülüğe atanan cezayı artırmanın daha yumuşak γ tahminlerine yol açtığına dikkat edin.
Parametrik GP regresyon modellemesine benzer şekilde, maksimum cezalandırılmış olasılık tahmininin uygunluğu, genelleştirilmiş kalıntıların (7.19) üstel nicelik grafiğinin görsel olarak incelenmesi ile değerlendirilebilir. Aşırı koşullu nicelikler için parametrik olmayan tahminler (7.21) ‘den elde edilebilir, böylece σ (x) ve γ (x), maksimum cezalandırılmış olasılık tahminleri ile değiştirilir.
Örnek 7.1 (devam) Genelleştirilmiş artıkların (7.19) üssel bir nicelik grafiği aracılığıyla k = 200’de λ = 0.1 ile maksimum cezalandırılmış olasılık tahmininin uygunluğunu değerlendiriyoruz, bkz. Şekil 7.12 (a). Kalıntılar, birinci köşegen etrafında oldukça iyi dağılmakta ve maksimum cezalandırılmış olasılık tahminlerine göre Ca aşımlarının uygun bir uyumunu göstermektedir. Şekil 7.12 (b) ‘de, k = 200’de Uˆ ∗ (1000; pH) ile birlikte Ca’ya karşı pH dağılım grafiğini gösteriyoruz. Burada, Uˆ ∗ (1000; pH), λ = ile elde edilen maksimum cezalandırılmış olasılık tahminlerinin takılmasıyla elde edilir.
Polinom
Sabit polinom
3 dereceden polinom
Polinom formülleri
Polinom kuralları
Polinomlar
Polinom sabit terim
Polinom denklemi Yazma
Yerel Polinom Maksimum Olasılık Tahmini
Alternatif olarak, parametre fonksiyonları σ ve γ, GP dağılımının tekrarlanan yerel uyumu ile tahmin edilebilir. Bağımsız rastgele değişkenler Z1’i düşünün. . . , Zn ve ilişkili ortak değişken gözlemler x1,. . . , xn. X ∗’da σ ve γ’yi tahmin etmekle ilgilendiğimizi varsayalım. Yüksek bir yerel eşik ux ∗ sabitleyin ve Zi> ux ∗, j = 1, …, Nux ∗ koşuluyla Yj = Zi − ux ∗ aşımlarını hesaplayın; burada orijinal örnekteki j-inci aşmanın indeksi ve Nux ∗ aşım sayısını gösterir.
Ortak değişkenleri, xi, Yi aşımı ile ilişkili ortak değişken gözlemi gösterecek şekilde uygun bir şekilde yeniden endeksleyin. H bir bant genişliği parametresi göstersin. Σ ve γ bilinmediğinden, bunları x at merkezli polinomlarla yaklaşıklaştırıyoruz. Aslında, σ ve γ’nin sırasıyla p1 ve p2 olduğunu varsayarsak, | xi – x ∗ | için çarpı türevlenebiliriz.
Maksimum olasılık katsayıları GP dağılımına uyar. Böylelikle, gözlemlerin log-olabilirliğe katkısı bir çekirdek fonksiyonu K tarafından yönetilir, burada K, x ∗’ya yakın gözlemler daha fazla ağırlık alacak şekildedir.
Ayrıca, K’nin [−1,1] üzerinde simetrik yoğunluk fonksiyonu olduğu varsayılır ve h, K’yi Kh (x) = K (x / h) / h olarak yeniden ölçeklendirir. Açıkça, h yumuşatma miktarını belirler. Yerel polinom maksimum olasılık tahmincisi (βˆ1 ′, βˆ2 ′) = (βˆ10,.., Βˆ1p1, βˆ20,.., Βˆ2p2) çekirdek ağırlıklı log-olabilirlik fonksiyonunun maksimizeridir.
(β1 ′, β2 ′) = (β10, …, β1p1, β20, …, β2p2) ‘ye göre, burada g GP yoğunluğunu ifade eder. Yerel polinom uydurmanın γ (x ∗) ve σ (x ∗) tahminlerini ve bunların sırasıyla p1 sırasıyla p2’ye kadar türevlerini sağladığına dikkat edin. Beirlant ve Goegebeur (2004a), γ (x)> 0 durumunda yerel polinom maksimum olasılık tahmin edicisinin tutarlılığını ve asimptotik normalliğini kanıtlamıştır.
Örnek 7.1 (devam) Şekil 7.13’te, normal çekirdek fonksiyonu, p1 = 0, p2 = 1 ve h = 0.3 (düz çizgi) ile yukarıda açıklanan prosedürle elde edilen yerel polinom maksimum olasılık tahminlerini γ (pH) gösteriyoruz , h = 0,5 (kesik çizgi) ve h = 0,7 (kesik noktalı çizgi). Bu analizde, yerel eşiği her pencerede 76. en büyük tepki gözleminde belirledik, yani k = 75’dir.
Bu yerel yaklaşımla tutarlı olarak, Hall ve Tajvidi (2000a) uyum iyiliği değerlendirmesi için bir temel olarak yerel kuantil grafikleri kullanmayı önerdiler. X ∗ merkezinde 2h uzunluğunda bir pencere düşünün ve (Y1 ′, x1 ′), …, (Yk ′, xk ′) xi ∈ [x ∗ – h, x için gözlemleri (Yi, xi) göstersin. ∗ + h]. Yerel bir polinom uyumu verildiğinde, (Y1 ′, x1 ′) dönüştürürüz. . . , (Yk ′, xk ′) genelleştirilmiş artıklara (7.19), böylece bilinmeyen parametre fonksiyonlarını polinom yaklaşımı ile değiştirir ve bunları üstel bir nicelik grafiği oluşturmak için kullanın.
FZ | x ∗’nin aşırı kuantillerinin parametrik olmayan tahminleri, n ∗ [x ∗ – h, x ∗ + h] ‘deki gözlem sayısı, k pozitif ağırlık alan aşımların sayısı ve σˆ (x ∗) ile elde edilebilir. ve γˆ (x ∗) sırasıyla σ (x ∗) ve γ (x ∗) için yerel polinom maksimum olasılık tahminlerini belirtir.
Örnek 7.1 (devam) GP dağılımının yerel polinom uyumunu, genelleştirilmiş kalıntıların yerel üssel nicelik grafiğini kullanarak pH ∗ = 7’de h = 0.5 ve k = 75 ile değerlendiriyoruz, bkz. Şekil 7.14 (a). Şekil 7.14 (b) ‘de, burada 2h uzunluğundaki her pencere içinde 76. en büyük tepki gözleminde ayarlanan eşiği (kesik çizgi) ve h = 0.5 ve k = 75 ile elde edilen Uˆ ∗ (1000; pH) gösteriyoruz.
3 dereceden polinom Polinom Polinom denklemi Yazma Polinom formülleri Polinom kuralları Polinom sabit terim Polinomlar Sabit polinom