Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (48) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Çok Değişkenli Eşik Aşımları
Tek değişkenli durumda olduğu gibi, çekim alanı koşulu (8.60), yüksek bir eşik üzerindeki aşmalar açısından değerlendirilebilir. {X ̸≤ bn} olayına (çok değişkenli) bn eşiğinin aşılması adı verilir. Karşılık gelen bn, j eşiğini aşan en az bir koordinat değişkeni Xj olmasını gerektirir, ancak bunun meydana geldiği kesin koordinat belirtilmemiştir.
Koşullu olarak, X ̸≤ b aşımında, a − 1 (X – b) vektörü (ölçeklendirilmiş) fazlalıkların vektörüdür; aşırı vektörün bazı koordinatlarının, koşullandırma olayı altında en az bir koordinat olmasına rağmen negatif olabileceğini gözlemleyin. Pozitif olmalıdır.
Aşırı vektörün a − 1 (X – n bn) koşullu olarak X ̸≤ bn üzerinde asimptotik dağılımı ile ilgileniyoruz. Genellik kaybı olmadan, 0 <G (0) <1 olduğunu varsayalım. G (x)> 0 olacak şekilde x için, bazı hesaplamalardan sonra elde ederiz.
Şimdi q = (q1, …, qd) ve qj, Gj’nin alt uç noktası, G’nin j. Marjı olsun. O halde yukarıdaki sınır bağıntısı şunu gösterir:
- P [a − 1 (X − bn) ∨q∈ · | X̸≤bn] → D P [W∈ ·], n → ∞
Olasılık bir ile Wj ≥ qj ve dj = 1 Wj> 0 olmasına rağmen P [Wj ≤ 0] = limn → ∞ P [Xj ≤ bn, j | X ̸≤ bn] pozitif olabilir. (8.65) göz önüne alındığında, W dağıtımına çok değişkenli Genelleştirilmiş Pareto (GP) dağıtımı diyebiliriz. Bildiğimiz kadarıyla, daha önce çalışılmadı. Muhtemelen (8.65) ve (8.66) çok değişkenli eşik aşırılıklarını modelleyen yeni istatistiksel prosedürlerin temelini oluşturabilir.
(8.65) ‘den, belirli bir koordinatta bir eşik aşımı olması durumunda fazla vektörün asimptotik dağılımını da türetebiliriz: j = 1 için ;
- P [bir − 1 (X − bn) ∨q∈ · | Xj> bn, j] → D P [W∈ · | Wj> 0] (8.67) n olarak n → ∞ olur.
Wj> 0 verildiğinde Wj dağılımının tek değişkenli GP olduğunu gözlemleyin. Çok değişkenli GP dağıtımlarının yakından ilişkili bir tanımı Tajvidi’de (1996) yer almaktadır. Çok değişkenli bir eşik aşımı için {X ̸≤ bn}, aşırı vektörün her koordinatını, eşiğin aşılmadığı yerde sıfıra eşit ayarlamayı önerdi. (8.65) gösteriminde bu,
- P [a − 1 (X − bn) ∨0∈ · | X̸≤bn] → D P [W∨0∈ ·], n → ∞, (8.68)
W ∨ 0 sınırlayıcı rasgele vektörünün dağılımına eşittir.
İki veya daha fazla boyutta, bu vektörün marjlarının pozitif olasılıkla sıfır olabileceğini gözlemleyin.
İki değişkenli durumda, çok değişkenli GP dağılımlarının başka bir tanımı Kaufmann ve Reiss (1995) tarafından önerilmiştir: (8.14) ‘de olduğu gibi kararlı kuyruk bağımlılık fonksiyonu l ile iki değişkenli aşırı değer dağılım fonksiyonu G için,
- H (x1, x2) = {1 + günlük G (x1, x2)} + = [1 – l {- günlük G1 (x1), – günlük G2 (x2)}] olur.
Bu H, çevrilmiş GP kenar boşlukları Hi (xi) = {1 + logGi (xi)} + ve copula CH (u1, u2) = {1 − l (1 − u1,1 − u2)} + olan iki değişkenli bir dağıtım fonksiyonudur. Bununla birlikte, üç veya daha fazla boyutta, H (x) = {1 + log G (x)} + formülü, genel olarak, geçerli bir dağıtım işlevine yol açmaz; bu, kenar boşluklarının G bağımsızdır.
Çok Değişkenli analiz ders notları
Mahalanobis uzaklığı nasıl hesaplanır
Çok değişkenli Analiz
Çok değişkenli istatistik çözümleme Teknikleri
Mahalanobis çok değişkenli uç değer
Çok değişkenli analiz ders notları
Mahalanobis uzaklığı örnek
Çok değişkenli istatistiksel Analiz pdf
Eşit Kenar Boşlukları
F’nin tüm marjlarının örneğin F1’e eşit olması durumunda, çekim alanı koşulunun (8.60) önceki yeniden formülasyonları bir şekilde basitleştirilebilir. X ∗ = sup {x ∈ R: F1 (x) <1}, F1’in sağ uç noktası olsun.
Pickands (1975) tarafından, F1 ∈ D (G1), 0 <G1 (0) <1 ile bazı tek değişkenli aşırı değer dağılım fonksiyonu G1 için, ancak ve ancak u <x ∗ üzerinde tanımlanan pozitif bir fonksiyon varsa;
- σ (u) [ 1 − F1 {u + σ (u) x}] / {1 − F1 (u)} → −logG1 (x) asu ↑ x ∗ olur.
Bu durumda, normalleştirme sabitleri an = σ (bn) a n d b n = F 1 ← (1 – 1 / n) ‘ye eşit alınabilir.
Şimdi G, tüm kenar boşlukları G1’e eşit olan, d-değişkenli bir uç değer dağılım fonksiyonu olsun. G1’in alt uç noktasını q ile belirtiniz; G (0)> 0 varsayımımız nedeniyle q <0 olduğunu gözlemleyin. Monotonluk ve sürekliliği kullanarak, (8.61) ve dolayısıyla (8.60) ‘ın tüm x için eşit olduğunu gösterebiliriz.
İkinci kriter, F’nin marjlarının uç değer endekslerinin hepsinin aynı işarete sahip olduğu şeklindeki daha genel durumu düşünen Marshall ve Olkin (1983) tarafından elde edilen sonuçların yeniden formülasyonudur.
Kesin olarak sürekli dağılımlar için Yun (1997), belirli koşullu yoğunlukların yakınsaması açısından (8.69) için yeterli koşulları sağlar. Markov zincirlerinin aşırılıklarını incelerken bu konuya Bölüm 10.4’te geri döneceğiz.
Kenar boşlukları eşit olduğunda, çok değişkenli eşiklerin aşılmasını içeren kriterler de basitleşir. (8.66) ‘daki W ile, denklem (8.65) tüm j = 1 için eşdeğerdir. İkinci formülasyon, Segers (2003a) ‘da tek değişkenli durağan zaman serilerinin uçlarını içerir.
Üslü Ölçü
Koşul (8.61), üslü ölçüler açısından ilginç bir yoruma sahiptir. (8.3) ‘den G’nin üs ölçüsü μ olduğunu hatırlayın, μ, [q, ∞) \ {q} üzerinde yoğunlaştı, μ ([q, ∞) \ [q, x]) = – logG (x) forx≥q, Burada qj, Gj’nin en küçük uç noktasıdır, G’nin j. marjı, (8.41) ile −logG (x) ‘in x> q ise sonlu olduğunu ve aksi takdirde sonsuz olduğunu, böylece μ (B)’ nin Borel B kümeleri için sonlu olduğunu gözlemleyin. q, ∞) q’dan uzaklaşır.
Ayrıca, [q, ∞) \ {q} üzerindeki μn ölçülerini şu şekilde tanımlayın:
- μ (·) = nP [X ∈ ·], burada X = a − 1 (X −b) ∨q. (8.70) n 1, nI
- X ∈ [q, ∞] için μn ([q, ∞) \ [q, x]) = n {1 – F (anx + bn)}
olduğundan, denklem (8.61) şimdi μn ölçüleri cinsinden yazılabilir ve
μ, x ≥q ile her B = [q, ∞) \ [q, x] kümesi için n → ∞ olarak μn (B) → μ (B) olarak hesaplanır.
Hem μn hem de μ, [q, ∞] \ [q, ∞) üzerine sıfır kütle koyduğundan, bir ölçü-teorik argüman şimdi şu sonucunu verir: (8.61) ve dolayısıyla (8.60), μn’ye eşittir, belirsiz bir şekilde μ’ye yakınsar, gösterim μn → v μ, üzerinde [q, ∞] \ {q}, (8.71), kompakt ile [q, ∞] \ {q} ‘da her Borel kümesi B için μn (B) → μ (B) olarak n → ∞ olarak yorumlanacaktır. kapanış ve öyle ki μ (∂B) = 0, burada ∂B B’nin topolojik sınırını gösterir.
Yalnızca ve ancak B ⊂ [q, ∞] \ [q, x] olacak şekilde x> q mevcutsa, B ⊂ [q, ∞] \ {q} ‘nun kompakt kapanmaya sahip olduğunu gözlemleyin.
Çok değişkenli Analiz Çok Değişkenli analiz ders notları Çok değişkenli istatistik çözümleme Teknikleri Çok değişkenli istatistiksel Analiz pdf Mahalanobis çok değişkenli uç değer Mahalanobis uzaklığı nasıl hesaplanır Mahalanobis uzaklığı örnek