Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (49) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Nokta Süreçleri
[0, ∞) × [q, ∞) üzerinde aşağıdaki nokta işlemlerini düşünün:
Xi ile, n (8.70) ‘de olduğu gibi. Nokta süreçlere kısa bir giriş için bölüm 5.9.2’ye bakınız. (8.71] ‘den çekim alanı koşulunun (8.60) μn → v μ’ye eşdeğer olduğunu hatırlayın.
Resnick’in (1987) Önerisi 3.21’e göre, bu da ortalama dt μ (dx) ölçüsü ile Nn → D Poisson sürecine eşdeğerdir. (8.72) İstatistiksel çıkarım için yararlı olan belirli bir sonuç, [q, ∞) üzerindeki nokta süreçlerinin aşağıdaki yakınsamasıdır:
Kesikli ve Sürekli İndeks
Önceki denklemlerde, tamsayı değişkeni n sonsuza eğilimli sürekli bir değişken ile değiştirilebilir. Örneğin, t gerçek sayısının tam sayı kısmını ifade eden ⌊t⌊ ile, denklemler ;
- lim Ft (a⌊t⌋x + b⌊t⌋) = G (x), t → ∞
- lim t {1 − F (a⌊t⌋x + b⌊t⌋)} = −logG (x), t → ∞
- μt (·) = tP [X1, ⌊t⌋ ∈ ·] → v μ (·)
Bağımlılık Yapısının Yakınsaması
Çok değişkenli uç noktaları incelerken, marjinal dağılımları bağımlılık yapısından ayırmak genellikle uygundur. Bunu yapmamıza izin verilmiş olması, çok değişkenli dağıtım fonksiyonlarının zayıf yakınsamasının (i) marjinal dağılım fonksiyonlarının ve (ii) limit dağılımının marjları sağlandığında kopula fonksiyonlarının zayıf yakınsamasına eşdeğer olduğu özelliğinden kaynaklanır süreklidir.
Öyleyse F1, …, Fd, F’nin kenar boşlukları olsun ve her j = 1, …, d için gerçek dizilerin (an, j) n ve (bn, j) n ve an, j> olduğunu varsayalım. 0 ve bir uç değer dağılım fonksiyonu Gj için;
- Fjn (an, jxj + bn, j) → Gj (xj), n → ∞ olur. (8.77)
Öyleyse, G1, …, Gd kenar boşlukları olan bazı çok değişkenli aşırı değer dağılım fonksiyonu G için (8.60) ‘a sahip olmak için F’de hangi ekstra koşul gereklidir? Önceki paragraftaki özelliğe göre, ihtiyaç duyulan şey, daha sonra belirtilecek olan bağımlılık yapısının yakınsamasıdır.
Kolaylık sağlamak için, tüm kenar boşluklarının Fj’nin sürekli olduğunu varsayacağız.
Bu, her Fj (Xj) ‘nin (0, 1) üzerine eşit olarak dağıtılması gibi özel avantaja sahiptir; burada (X1, …, Xd) dağıtım fonksiyonu F olan rastgele bir vektörü gösterir.
Ayrıca, 0 ≤ uj ≤ 1 için, dört olay {Xj ≤ Fj ← (uj)}, {Xj <Fj ← (uj)}, {Fj (Xj) ≤ uj} ve {Fj (Xj) <uj} sadece olasılık sıfır olayında farklılık gösterir ve bu nedenle serbestçe değiştirilebilir. Son olarak, F’nin kopulası benzersizdir ve CF (u) = F {F1 ← (u1), …, Fd ← (ud)}, u ∈ [0,1] d, (8.78) ile verilir, yani, CF, (F1 (X1),.., Fd (Xd)) ‘nin dağılım fonksiyonudur.
Copula Yakınsaması
X1, X2, … dağıtım fonksiyonu F olan bağımsız rasgele vektörlerin bir dizisi olsun. Fn’nin kopulası, örnek maksimumun dağılım fonksiyonu,
- Mn = X1 ∨ · · · ∨ Xn,
- CF n (u) = F n {(F1n) ← (u1),. . . , (Fdn) ← (ud)}
- = F n {F ← (u1 / n),. . . , F ← (u1 / n)}
- = Cn (u1 / n,.., U1 / n), u ∈ [0,1] d olur.
Şimdi G, kenar boşlukları Gj ve copula CG ile uç bir değer dağılım fonksiyonu olsun. F ∈ D (G) ‘yi ancak ve ancak (8.77) ile birlikte elde ederiz.
- lim Cn (u1 / n, …, u1 / n) = CG (u), u∈ [0,1] d n → ∞F1 d
Limit kopulası, CG, sürekli olduğu için, yukarıdaki yakınsama, u 0 [0, 1] d’de eşit olarak tutulur. Dolayısıyla, (8.79) ‘da, n ayrık değişkenini sürekli değişken t ile değiştirebiliriz:
- lim Ct (u1 / t, …, u1 / t) = C (u), u ∈ [0,1] d.
CG’nin kararlılık ilişkisi (8.53) ile, (8.80) ‘den u için CF (u) ≈ CG (u) yaklaşımını elde ederiz, öyle ki tüm uj’ler bire yeterince yakın olur. (8.52) ‘de olduğu gibi kararlı kuyruk bağımlılığı fonksiyonu l cinsinden CG yazmak ve uj yerine Fj (xj) koymak, yaklaşıklığı verir.
- F (x) ≈ exp [−l {- log F1 (x1),. . . , – Fd (xd)}], (8.81)
x için tüm Fj (xj) birliğe yakın olacak şekilde.
Standart Frechet veya Standart Pareto Kenar Boşluklarına İndirgeme
Alternatif olarak, rastgele X vektörünü, kenar boşlukları standart Fre ́chet olacak şekilde dönüştürebiliriz: rastgele X ∗ vektörünü dağıtım fonksiyonu F ∗ ile tanımlayın;
- X ∗ j = −1 / logFj (Xj), j = 1, …, d, F ∗
- (z) = F {F1 ← (e − 1 / z1), …, Fd ← (e − 1 / zd)},
- j = 1, …, d için 0 <zj <∞.
Tersine, F, F obtained’dan ve kenar boşlukları Fj’den elde edilebilir.
- F (x) = F ∗ {- 1 / log F1 (x1),. . . , -1 / log Fd (xd)}.
F ∗ kenar boşluklarının tümü standart Fre ́chet iken, onun kopulası F’nin kopulası ile aynıdır. Standart Fre ́chet dağılımı kendi çekim alanı içinde olduğundan, kopula yakınsaması (8.79) ‘da olduğu gibi F ∗ ∈’ye eşdeğerdir. D (G ∗), yani
- lim F ∗ t (tz) = G ∗ (z),
Burada G ‘, (8.5)’ de olduğu gibi standart Fre ́chet kenar boşluklarına bir dönüşümden sonra G’den elde edilir. (8.83) ‘ün alternatif formülasyonları
- lim t {1 – F ∗ (tz)} = – G ∗ (z), z ∈ [0, ∞],
yani, 1 – F con, koni üzerinde düzenli olarak değişen çok değişkenlidir (0, ∞). Tersine, (8.86) ‘nın F ∗ ∈ D (G ∗)’ yi de ima ettiğini görmek zor değildir.
Son olarak, standart Frechet marjlarından ziyade standart Pareto’ya dönüşebilirdik, yani (8.79) hala (8.83), (8.84), (8.85) veya (8.86) ‘nın her biri ile eşdeğerdir.
- X ∗ j = 1 / {1 − F1 (Xj)}, j = 1, …, d, F ∗ (z)
- = F {F1 ← (1−1 / z1), …, Fd ← (1−1 / zd)}, 1 <zj <∞, j = 1, …, d için.
Ülkelerin Lorenz eğrisi
Weibull dağılımı parametreleri
Gini katsayısı nedır
Gelir dağılımı formülü
Gini Katsayısı hesaplama örnekleri
Weibull nedir
Gini katsayısının özellikleri
80/20 Pareto Prensibi
Kuyruk Bağımlılığı Fonksiyonu Yakınsaması
F’nin kopulası ile yakından ilgili, kuyruk bağımlılık fonksiyonudur;
- D F (u) = 1 – F {F 1 ← (1 – u 1),. . . , F d ← (1 – u d)}.
- DF (u) = 1 − CF (1 − u1, …, 1 − ud) = P [dj = 1 {Fj (Xj)> 1− uj}] ve
- 1 – F (x) = DF {1 – F1 (x1),. . . , 1 – Fd (xd)}. (8.84) ve
- DF (u) = 1 – F ∗ (1 / u1,.., 1 / ud) ve (8.87) (Pareto marjları) gibi F in kullanarak, (8.79) ‘un eşdeğer olduğunu buluruz.
- lim s − 1DF (sv) = l (v), v ≥ 0.
(8.89) ‘un birkaç eşdeğer formülasyonu da aşağıdaki gibidir;
- l (v) = lim s − 1 {1 – CF (1 – sv1,…, 1 – svd)} s ↓ 0
- = lims − 1P [∃j = 1, …, d: Fj (Xj)> 1 − svj] s ↓ 0
- = lim tP [dj = 1 [vj / {1 − Fj (Xj)}]> t]
Önceki denklemlerdeki yakınsaklık v∈ [0, ∞) ‘de yerel olarak tekdüze olduğundan, 1 − svj’yi 1 − svj + o (s) formundaki herhangi bir fonksiyonla s ↓ 0 olarak değiştirebiliriz, örneğin, (1 – s) vj veya e − svj. iki değişkenli durumda, gerekli ve yeterli bir koşuldur.
80/20 Pareto Prensibi Gelir dağılımı formülü Gini Katsayısı hesaplama örnekleri Gini katsayısı nedır Gini katsayısının özellikleri Ülkelerin Lorenz eğrisi Weibull dağılımı parametreleri Weibull nedir