İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (28) – Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Algoritma, daha önce iki değişkenli düzlemsel yoğunluk için gösterilen Gibbs örnekleyicisine oldukça benzer. Temel fark, koşul ifadelerinin normal olmasıdır; bu nedenle, x ve y, rnorm rastgele örnekleme işlevi kullanılarak güncellenir.
Şekil 4.9, algoritmanın 10, 50, 200 ve 2.000 yinelemeden sonraki durumunu gösterir. Şekilde gösterildiği gibi, hem x hem de y için −10’luk zayıf başlangıç değerlerine rağmen, algoritma hızlı bir şekilde uygun bölgeye yakınsamıştır (10 yineleme içinde).
Şekil 4.10 dört grafik içerir. Üstteki grafikler, uygun “gerçek” marjinal dağılımlar üst üste bindirilerek, algoritmanın son 1.500 yinelemesinde x ve y için marjinal dağılımları gösterir.
Bu grafiklerin gösterdiği gibi, Gibbs örnekleyicisinin uygun kenarlardan örnekler ürettiği görülmektedir. Aslında, x için ortalama ve standart sapma sırasıyla 0,059 ve 0,984’tür ve bunlar gerçek değer olan 0 ve 1’e yakındır. Benzer şekilde, y için ortalama ve standart sapma da 0,012 ve 0,979’dur ve bunlar da gerçek değerlerine yakın olanlarıdır.
Daha önce de söylediğim gibi, genellikle sadece marjinal dağılımlarla ilgileniyoruz. Bununla birlikte, x ve y örneklerinin de – yeterli sayıda burn-in iterasyonundan sonra – her iki değişken için ortak yoğunluktan bir örnek olarak kabul edilebileceğini de belirttim. Bu doğru mu? Şekildeki sol alt grafik, r = .5 korelasyonlu gerçek standart iki değişkenli normal dağılım için bir kontur grafiğini göstermektedir. Sağ alttaki grafik, Gibbs örneklerinin üst üste bindiği bu aynı kontur grafiğini göstermektedir. Şekilde görüldüğü gibi, countour grafiği tamamen Gibbs örnekleriyle kaplıdır.
İşlemi Tersine Çevirme: Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme
Önceki bölümde yaptığımız gibi yoğunluk parametrelerinden koşullu olarak yoğunluklardan örnekleme verileri önemli bir süreçtir, ancak Bayes istatistiklerinin süreci, parametreleri bilmek koşullu verileri örnekleme hakkında değil, verileri olması koşuluna bağlı örnekleme parametreleri hakkındadır.
Yine de defalarca söylediğim gibi, Bayesci perspektiften, hem veriler hem de parametreler rastgele miktarlar olarak kabul edilir ve bu nedenle, veriler üzerinde koşullu parametrelerin örneklenmesi, parametrelere bağlı verileri örneklemekten temelde farklı bir süreç değildir.
Temel fark, basitçe matematikte, yoğunluğu verilerden ziyade parametreler için koşullu yoğunluk olarak ifade etmek için uygulamamız gerekir. Bu işlemi ilk olarak önceki bölümde tek değişkenli normal dağılımdan ortalama parametrenin koşullu posterior dağılımını türeterken gördük.
Önce tek değişkenli normal dağılım örneğini ele alalım. Önceki bölümde, ortalama ve varyans parametreleri için arka dağılımlar için iki sonuç elde ettik (1 / σ2’den önce bir referans varsayarak). Birinde, arka yoğunluğun üretilmesi için çarpanlara ayrılabileceğini gösterdik;
- (1) ters gama dağılımı olan σ2 için marjinal bir arka yoğunluk ve
- (2) normal dağılım olan μ için koşullu bir arka yoğunluk.
- p (σ2 | X) ∝ IG ((n – 1) / 2,
- (n – 1) var (x) / 2) p (μ | σ 2, X) ∝ N x ̄, σ 2 / n .
Σ2’nin arka dağılımının ikinci türetmesinde, σ2 için koşullu (marjinal değil) dağılımın da ters gama dağılımı olduğunu, ancak biraz farklı parametrelerle olduğunu gösterdik:
- p (σ2 | μ, X) ∝IG n / 2, (xi − μ) 2/2.
Bu türetmelerin her ikisi de, Gibbs örneklemesine kolayca katkıda bulunur. İlk türetme altında, marjinal dağılımdan önce σ2 için bir değer vektörü örnekleyebilir ve ardından koşullu dağılımından her σ2 değerinde μ koşullu bir değer örnekleyebiliriz. İkinci türetme altında, önceki bölümlerde gösterilen yinelemeli süreci izlerdik, ilk önce μ koşullu σ2 için bir değer örnekleyerek, ardından σ2 için yeni değer üzerinde μ koşullu bir değer örnekleyerek ortaya koyduk.
Pratikte ilk yaklaşım daha etkilidir. Bununla birlikte, bazı durumlar ikinci yaklaşımı gerektirebilir (örneğin, eksik veriler dahil edildiğinde). Burada, 2000 yılında yetişkin ABD nüfusu için ortalama okullaşma yılını tahmin ederken her iki yaklaşımı da gösteriyorum. Bu örneğin verileri, 1969’dan beri her yıl tekrarlanan kesitsel bir anket olan 2000 Ulusal Sağlık Görüşmesi Araştırması’ndan (NHIS) alınmıştır. veri seti, sosyal bilimler standartlarına göre nispeten büyüktür ve her yıl yaklaşık 40.000 kişiden oluşur.
2000 yılında, verileri 30 yaş ve üzeri katılımcılarla sınırladıktan ve eğitimle ilgili eksik gözlemleri sildikten sonra, 17.946 katılımcıdan oluşan bir analitik örnek elde ettim. Örneklemdeki ortalama eğitim kazanımı 12.69 yıldı (s.d. = 3.16 yıl), 2000 ABD Nüfus Sayımına göre 12.74 olan ortalamanın biraz altındadır.
Aşağıda, ilk olarak eğitimsel kazanımın varyansının (σ2) 2.000 değerini ters gama marjinal dağılımından örnekleyen ve ardından σ2 için her bir değer için koşullu, uygun normal dağılımdan μ örnekleyen bir R programı bulunmaktadır:
- #R: varyans için marjinalden örnekleme ve ortalama için koşullu
x <-as.matrix (read.table (“c: \\ eğitim.dat”, başlık = F) [, 1]) sig <-rgamma (2000, (uzunluk (x) -1) / 2, oran = ((uzunluk (x) -1) * var (x) / 2)) sig <-1 / sig
mu <-rnorm (2000, ortalama = ortalama (x), sd = (sqrt (sig / uzunluk (x))))
Bu program oldukça kısadır, önce verileri bir X vektörüne okur ve ardından uygun şekil ve ölçek parametreleri ile bir gama dağılımından 2.000 çizim üretir. Bu çekimler daha sonra tersine çevrilir, çünkü R’nin doğrudan ters gama dağılımı yoktur; bu nedenle, 1 / x, a ve b parametreleriyle gama dağıtılmışsa, x’in aynı parametrelerle dağıtılmış ters gama olduğu gerçeğinden yararlanıyorum. Son olarak, program uygun normal dağılımından μ örnekler.
Aşağıda, μ ve σ’nun koşullu dağılımlarından sırayla örneklendiği alternatif yaklaşım için R programı verilmiştir:
- #R: hem varyans hem de ortalama için koşullardan örnekleme
x <-as.matrix (read.table (“c: \\ eğitim.dat”, başlık = F) [, 1]) mu = matrix (0,2000); sig = matris (1.2000)
için (2: 2000’de i)
{sig [i] = rgamma (1, (uzunluk (x) / 2), oran = toplam ((x-mu [i-1]) ^ 2) / 2) sig [i] = 1 / sig [i] mu [i] = rnorm (1, ortalama = ortalama (x), sd = sqrt (sig [i] / uzunluk (x)))}
Bu yaklaşım altında, μ ve σ2 için başlangıç değerleri seçmeliyiz; burada sırasıyla 0 ve 1 kullanıyorum (matrisler R’de tanımlandığında atanır), bunlar örnek ortalamalara dayalı tahminlerinden uzaktır. Bu yaklaşım, daha önce düzlemsel yoğunlukta gördüğümüz gibi, döngü yapmayı da gerektirir.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Gibbs örneklemesine kolayca ilk olarak eğitimsel kazanımın varyansın İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (28) – Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma önce verileri bir X vektörüne okur Pratikte ilk yaklaşım Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme μ ve σ2 için başlangıç değerleri