Popülasyon Ortalaması – İstatistik Alanları- İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik – İstatistik Yaptırma
Güvenilirlik Aralığı
Bu bölümde, örnek verilerden nüfus ortalamalarını ve oranlarını tahmin ediyoruz. Popülasyon parametresi için bir nokta tahmini, bu parametre için tek bir değerdir ve karşılık gelen örnek değerden gelir. Örneğin, örneklem ortalaması, popülasyon ortalaması için tarafsız bir nokta tahminidir.
Ancak, kesinlikle hatalıdır ve bundan daha iyisini yapabiliriz. Nüfus parametresinin yattığını düşündüğümüz ve tahmine olan güvenimizi ölçtüğümüz bir aralığa ulaşıyoruz. Bu aralık tahmini, güven aralığı olarak adlandırılır. Bu süreç, çıkarımsal istatistiklerle ilk karşılaşmamızı temsil ediyor.
Güven Aralıklarına Giriş
Bir popülasyon ortalaması için% 95 güven aralığı tahminini bulmak istediğimizi varsayalım.
• Yedekle : Daha bir örnek almadan önce, örnek, μ (popülasyon ortalaması) merkezli ve standart sapması √σ ∗ olan anlamına gelir.
Gözlemleyin: Örnek ortalamaların% 95’i (x ̄’ler) popülasyon ortalamasının (μ) E dahilinde olacaktır, burada E = zα / 2 √σ (7.1) olur.
• E, hata payı olarak adlandırılır.
• α = 1 – .95 ve iki kuyruktaki toplam alanı temsil eder. (α, Yunanca alfadır)
• α / 2, her bir kuyruktaki alanı temsil eder.
• zα / 2, bu kuyrukları orta% 95’ten ayıran z’nin kritik değerinin adıdır.
• σ, popülasyon standart sapmasıdır ve n, örneklem büyüklüğüdür.
Gerçekliğe dönüş:
Teoride: x ̄’lerin% 95’inin μ E içinde olacağını biliyoruz. Pratikte: Zamanın% 95’i, μ, x ̄ ‘nin E’si dahilinde olacaktır.
• Yani, zamanın% 95’inde, μ x ̄ – E ile x ̄ + E. arasında olacaktır (sözlü)
• Yani, zamanın% 95’i, x ̄ – E <μ <x ̄ + E. (eşitsizlikleri kullanarak)
• Yani, zamanın% 95’i μ ∈ (x ̄ – E, x ̄ + E). (aralık gösterimi)
• Güven Seviyesinin Tanımı: Güven seviyesi, güven aralığını oluşturmak için kullanılan prosedürün başarı oranını veya gerçek popülasyon ortalamasının ne sıklıkla aralık tahmini dahilinde olacağını verir.
• Ön Örnek: Rastgele seçilen 35 yetişkin erkeğin kalp hızları toplanır. Bu örneğin ortalaması x = dakikada 72.5 atımdır (bpm). Popülasyon standart sapmasının (σ) 10,2 bpm olarak bilindiğini varsayalım. (A) μ nokta tahminini, (b)% 95 güven seviyesinde hata payını (E), (c) μ için% 95 güven aralığını belirleyin ve (d) okunabilir bir sonuç ifadesi yapın.
- (a) μ nokta tahmini, örnek ortalamasıdır (x) = 72,5 bpm.
- (b) Hata payı E = zα / 2 √σ ile verilir.
Σ = 10.2 (popülasyon standart sapması) ve n = 35 (örneklem büyüklüğü) var. Kritik değer, zα / 2, her bir kuyruğa α / 2 (burada .05 / 2 = 0.025) koyarak bulunur. Z-tablosunun içindedir .025 veya 0.975 aradığınızda, sırasıyla −zα / 2 = −1.96 veya zα / 2 = 1.96 elde edersiniz. Güven seviyesi% 90,% 95 veya% 99 ise, kritik değerleri bulmak için z tablolarının altındaki küçük tabloyu kullanabilirsiniz.
(c) μ için güven aralığı şu şekilde yazılabilir:
(x – E, x + E) = (69.1, 75.9). bir ondalık basamağa yuvarlanır – ortalama gibi μ tahmin etme hedefimizi vurgulamak için bunu genellikle 69,1 <μ <75,9 veya μ ∈ olarak yazarız.
(d) Sonuç Bildirimi: Tüm erkekler için ortalama nabız hızının dakikada 69.1 ile 75.9 atış arasında olduğundan% 95 eminim.
Populasyon parametreleri
Popülasyon ortalaması sembolü
Popülasyon parametresi Nedir
Standart Sapma hesaplama
Güven aralığı hesaplama
Örneklem ortalaması formülü
Örneklem standart sapması formülü
İstatistik Popülasyon Örnekleri
Bir Popülasyon Ortalamasını ve
Örnek Büyüklüğünü Tahmin Etme (σ bilinen)
Burada, popülasyon standart sapmasını (σ) bildiğimiz pek olası olmayan bir durumda, örnek ortalamaya (x ̄) dayalı bir popülasyon ortalaması (μ) için bir tahmin (güven aralığı) yapıyoruz.
• Gösterim ve Formüller
. μ popülasyon ortalamasıdır (bilinmeyen).
. x ̄ örnek ortalamadır. Bu aynı zamanda μ için nokta tahminini temsil eder.
. n, örneklem boyutudur.
. σ, popülasyon standart sapmasıdır (bilinen).
. Güven seviyesi (genellikle% 90,% 95 veya% 99) prosedürün başarı oranını temsil eder.
. α, dağılımın iki kuyruğundaki birleşik alandır. α = 1 – güven düzeyi (ondalık biçimde). . zα / 2, hata payını hesaplamak için kullanılan z’nin kritik değeridir.
. E, hata payıdır.
• Gereksinimler
1. Örnek basit bir rastgele örnek olmalıdır.
2. Popülasyon standart sapmasının (σ) değeri bilinmektedir.
3. Örnek boyutu (n) 30’dan büyüktür ve / veya popülasyon normal olarak dağılmıştır.
Güven Aralıklarının Hesaplanması
• Prosedür Güven düzeyine sahip olduğunuzda, x ̄, σ ve n,
1. z = zα / 2’nin kritik değerini belirleyin.
Güven seviyeniz% 90,% 95 veya% 99 ise, sayfanın altındaki küçük tabloyu kullanabilirsiniz.
z-tablosu. Aksi takdirde, z dağılımının her kuyruğuna α / 2 koyarak zα / 2’yi bulmanız gerekir. Bu, yazılım kullanılarak da yapılabilir.
2. Denklemi (7.3) kullanarak hata payını hesaplayın.
3. Güven aralığını belirleyin: x – E <μ <x + E
4. Güven aralığı sınırları için kurallar gibi anlaşılır bir sonuç ifadesi yazın:
• Ham verileri kullanırken, veriler için kullanılandan bir ondalık basamağa yuvarlayın.
• Yalnızca x, n ve σ’ya sahip olduğunuzda, x ile aynı sayıda ondalık basamak kullanın.
• Hata payınızı fazladan bir veya iki ondalık basamak çıkarmak isteyebilirsiniz, ancak son cevabınızı yukarıdaki kurallara göre yuvarlamayı unutmayın.
• Örnek 1: 35 erkekten oluşan basit rastgele bir örnek dakikada 72.5 atımlık bir ortalama nabız hızı verir. Popülasyon için standart sapmanın 10,2 bpm olduğunu varsayalım.
(a) Tüm erkeklerin ortalama nabız hızı için% 95 güven aralığı tahminini bulun.
ön bilgi: x ̄ = 72,5 σ = 10,2 n = 35
1. z’nin kritik değeri:
.95 popüler güven düzeylerimizden biri olduğu için kritik değer z tablolarının altında bulunur. zα / 2 = 1.96
σ 10.2
2. Hata Payı: E = zα / 2 · √n = 1.96 · √35 = 3.38
3. Güven aralığı:
Alt sınır x ̄ – E = 72,5 – 3,38 = 69,12’dir. Üst sınır x ̄ + E = 72,5 + 3,38 = 75,88’dir. Güven aralığı 69,1 <μ <75,9’dur
4. Sonuç: Tüm erkekler için ortalama nabız hızının dakikada 69,1 ile 75,9 atım arasında olduğundan% 95 eminim.
(b) Sıranız: Tüm erkeklerin ortalama nabız hızı için% 99 güven aralığı tahminini bulun.
1. z’nin kritik değeri:
2. Hata Payı:
3. Güven aralığı:.
4. Sonuç:
(c) Siz güven düzeyini yükselttikçe güven aralığının boyutuna ne olur?
Örnek Büyüklüğünün Hesaplanması
(popülasyon ortalama tahminleri için)
• Belirli bir güven düzeyiyle ilişkili güven aralığını ve E hata marjında belirli bir sınırı bulmak istediğinizi varsayalım. Daha sonra uygun örnek boyutunu belirleyebilir misiniz? Evet. Hata payı denklemini hatırlayın: E = zα / 2 · √σ. Bu n için çözülebilir ve elde edersiniz.
Not: Bu, hata payı üzerindeki belirli bir üst sınır için gereken minimum örnek boyutunu verir. Örneklem büyüklüğü popülasyon büyüklüğüne bağlı değildir!
Güven aralığı hesaplama İstatistik Popülasyon Örnekleri Örneklem ortalaması formülü Örneklem standart sapması formülü Popülasyon ortalaması sembolü Populasyon parametreleri Popülasyon parametresi Nedir Standart Sapma hesaplama