Extremes (Uç-Aşırı Değerler) İstatistikleri – Aşırılık İstatistikleri – (11) – Aşırılık İstatistiği Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
Örnek:
Belçika’daki Meuse nehrinin yıllık maksimum deşarjları maksimum Y1’den oluşmaktadır. . . , Ym, burada m mevcut yıl sayısını gösterir. Bir QQ grafiği kullanarak, Y = max {X1, dağılımını uydurmaya çalışabiliriz. . . , X365} aşırı değer dağılımı yapılır.
Bu pratik örnekte, keşif amaçlı bir veri analizinden bir sağ çarpıklık görülmektedir (Şekil 2.2).
Ekstrem bir değer dağılımının kuantil fonksiyonu şu şekilde verilir:
Γ = 0 durumu, nicelik fonksiyonu ile Gumbel dağılımına karşılık gelir.
Şekil 2.1 (a) Gumbel yoğunluğu (düz çizgi) ve γ = 0.28 (kesik çizgi) ve γ = 0.56 (kesik-noktalı çizgi) ve (b) Gumbel yoğunluğu (düz çizgi) ve iki uç parametreler için iki Fre ́chet yoğunluğu γ = −0.28 (kesik çizgi) ve γ = −0.56 (kesik-noktalı çizgi) için Weibull yoğunlukları değeri.
Ekstrem değer kuantillerinin Box-Cox dönüşümleri x → x− −1 kullanılarak standart Fre ́chet (1) nicemlerinden 1 (bkz. Tablo 2.1) elde edildiğine dikkat edin. Bir Gumbel kuantil grafiğinin özel durumu için log (1 / p) Ex dışında, bir uç değer dağılımı için bir nicelik grafiği ancak γ için bir değer belirlendikten sonra elde edilebilir. Bir Gumbel QQ grafiğinin basit durumunu düşünerek başlıyoruz.
Meuse nehrinin yıllık maksimum deşarjları için Gumbel nicelik grafiği Şekil 2.3 (a) ‘da verilmiştir. Çizim, bir Gumbel dağılımının verilere oldukça iyi uyduğunu ve bu basitleştirilmiş modelin yıllık nehir deşarj maksimumları için hidrolojide ortak kullanımını desteklediğini göstermektedir. Şekil 2.3 (a) ‘da verilen grafik üzerinde en küçük kareler regresyon grafiği uygulayarak, takılan Gumbel modelinin konum ve ölçek parametrelerinin tahminlerini veren bir bˆ = 1247 kesişme değeri ve aˆ = 446 eğimi elde ederiz.
Bir uç değer QQ grafiği oluştururken, QQ grafiğindeki korelasyon katsayısını en üst düzeye çıkaran, 0’ın komşuluğunda γ değerini ararız.
Şekil 2.2 (a) Zaman grafiği, (b) kutu grafiği, (c) histogram ve (d) Meuse’nin yıllık maksimum deşarjları için
normal kuantil grafiği.
Bu, γˆ = −0,034 değeri için elde edilir. Karşılık gelen QQ grafiği Şekil 2.3 (b) ‘de verilmiştir. Burada, en küçük kareler doğrusuna bˆ = 1252 ve aˆ = 462 uydurulur. Elbette, γ, a ve b başka yöntemlerle de tahmin edilebilir. Burada maksimum olabilirlik yönteminden ve olasılık ağırlıklı momentler yönteminden bahsedebiliriz. Aslında bu tahmin yöntemleri bu bağlamda oldukça popülerdir.
Şekil 2.3 arsa ve (b) aşırı değer kuantil grafiği.
Meuse’nin yıllık maksimum nehir deşarjı: (a) Gumbel miktarını ilk γ, b ve a tahminleri şimdi bu özel problem için 100 yıllık getiri düzeyini tahmin etmek için kullanılabilir.
Frechet-Pareto Örneği: γ> 0
Kolayca genelleştirilebilecek basit bir örnekle başlıyoruz. Daha sonra kuyruk kuantil fonksiyonu U ile temeldeki dağılım F arasındaki bağlantıyı ararız. Sınırlayıcı sonucu tarihsel biçiminde yeniden yazdıktan sonra, bazı yeterli koşulları veririz. Birkaç örnekle bitiriyoruz.
Denetimli alan gözetimli alan
Planlı Alanlar İMAR YÖNETMELİĞİ
Radyasyon sınıflaması
Radyasyon alanı tanımı
Planlı Alanlar Tip İmar YÖNETMELİĞİ 2016
Radyasyon alanı kaç mSv
Radyasyon doz sınırları
Planlı Alanlar Tip İmar YÖNETMELİĞİ 2008
Çekim Koşulunun Alanı
En iyi örnek olarak, hayatta kalma fonksiyonu F ̄ (x) = x − α, x> 1 olan katı Pareto dağılımından Pa (α) bahsediyoruz. Burada α, Pareto indeksi olarak adlandırılan pozitif bir sayıdır. Bu dağılım için, Q (p) = (1 – p) −1 / α ve dolayısıyla γ = 1 / α ile U (x) = xα hesaplanır. Sonra;
- {U(xu)−U(x)}/a(x)=(xu)γ −xγ/a(x) olur.
böylece yardımcı fonksiyon a (x) = γ xγ yol açar. ve dolayısıyla Cγ (a) açıkça eşitlikle tatmin olmuştur. Bununla birlikte, Cγ (a) ‘yı karşılayan çok daha geniş bir dağıtım sınıfı vardır.
γ> 0 ile aslında, lU’nun yavaş değişen bir fonksiyon olduğu U (x) = xγlU (x) alabiliriz. O halde (Cγ) de tatmin olur. Aslında, x ↑ ∞ için;
- {U (xu) – U (x)} / a (x) = (xu) γ lU (xu) – xγ lU (x) / a (x)
- a (x) = γxγlU (x) = γU (x) veya daha esnek bir şekilde, lim a (x) / U (x) = γ seçildiğinde.
U (x) = xγ lU (x) olan dağılımlara Pareto tipi dağılımlar denir. Bu dağılımlar için U’nun γ endeksine göre düzenli olarak değiştiğine dikkat edin.
Ayrıca, çekim koşulu Cγ (a) ‘nın etki alanı sağlandığında, normalleştirme sabitlerini ifadelerle seçebileceğimize dikkat edin.
- bn = U (n) = nγlU (n) ve i = a (n) olur.
Şekil 2.4 P {(Xn, n – U (n)) / (γU (n)) ≤ x} = grafiği. n = 2 için
(noktalı çizgi), n = 5 (kesik noktalı çizgi), n = 10 (kesik çizgi) ve limiti, n → ∞ için, exp (- (1 + x) −1) (düz çizgi).
(Xn, n – U (n)) / (γ U (n)) ‘nun uç değer sınırına yakınsaması, γ = 1 ile katı Pareto dağılımı için Şekil 2.4’te gösterilmiştir. Burada yakınsama oldukça hızlı görünüyor. 3. Bölümde, durumun genel olarak böyle olmadığı gösterilecektir.
Temel Dağıtımın Koşulu
Daha sonra γ> 0 koşulunun (Cγ) w> 0 koşuluna eşdeğer olduğunu göstereceğiz. Bu tam olarak x1 / γ (1 – F (x)) ‘in s.v olduğunu söylüyor. Bu nedenle, bir s.v. lF (x) fonksiyonu 1 – F (x) = x α αlF (x) burada α: = 1 olacak şekilde hesaplanır. Sonra onu takip edecek γ Pareto-tipi bir dağılımın tanımı, F dağılımı ve ayrıca kuyruk nicelik fonksiyonu açısından formüle edilebilir.
Pareto-tipi terimi, dağılımın kuyruğunu ifade eder ve kabaca söylenirse, x → ∞ olarak hayatta kalma fonksiyonu 1 – F (x), polinom hızında sıfıra, yani x − α için olduğu anlamına gelir.
İki s.v. arasındaki bağlantı fonksiyonlar bölüm 2.9.3’teki Önerme 2.5’te sunulan de Bruyn eşleniği kavramına bağlıdır. En düzgün haliyle, ifadeler arasında tam bir denklik olduğunu söyleyebiliriz.
- 1 – F (x) = x −1 / γ lF (x) ve U (x) = x γ lU (x)
Yavaş değişen iki fonksiyon olan lF ve lU, de Bruyn konjugasyonu yoluyla birbirine bağlanır. Γ değeri arttıkça kuyruk ağırlaşır, yani dağılım daha büyük olur; aksi belirtilmedikçe, büyük aykırı değerler daha da olası hale gelir.
Γ> 1 olduğunda, katı Pareto dağılımı için kolayca kontrol edilebileceği gibi, X’in beklenen değeri E (X) mevcut değildir. Γ> 0.5 için varyans bile sonsuzdur. Bu nedenle, Pareto-tipi dağılımlar, çok ağır kuyruklara sahip verileri modellemek için sıklıkla çağrılır. Daha spesifik olarak, X’in pozitif kısmını X + ile ifade eden kişi şunu bulur:
- E (X + c) = ∞, cγ> 1, <∞, cγ <1.
Denetimli alan gözetimli alan Planlı Alanlar İMAR YÖNETMELİĞİ Planlı Alanlar Tip İmar YÖNETMELİĞİ 2008 Planlı Alanlar Tip İmar YÖNETMELİĞİ 2016 Radyasyon alanı kaç mSv Radyasyon alanı tanımı Radyasyon doz sınırları Radyasyon sınıflaması