İki değişkenli dağılımların oluşturulması – İstatistik Alanları- İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik – İstatistik Yaptırma
İki değişkenli dağılımların oluşturulması
Hi ve hu elde ettikten sonra, artık belirli marjinallerle tek parametreli veya iki parametreli iki değişkenli dağılım aileleri üretebilecek bir konumdayız:
- o, ct> = OhUx, y) + {le- (j>) f {x) g {y) + (l> hu {x, y), ^, 0> 0, ^ + 0 <1. (3.14 )
^ = 0,0> 0 ayarlandığında, pozitif korelasyonlu tek parametreli bir aile elde ederiz; ve 0 = 0, 0> 0 ayarlandığında, negatif korelasyonlu tek parametreli bir aile; ve bu ailelerin üyeleri için korelasyon katsayıları 6 ^ 0, pL ve pu-
Mardia (1970, s.33) tatifwelet’i (9 ^ = ^ (1-7) ve (j) = ^ (1 + 7) not etmedi, sonra (3.14)
(/> == 0 için ve korelasyon katsayısının p ile verildiğine dikkat etmek önemlidir.
- p = epL, 0 <9 <l
pL ve 0 arasında değerlere sahiptir. Dolayısıyla, PL ile 0 arasında istenen herhangi bir korelasyon p için, [0, 1] ‘de (3.17)’ yi karşılamak için gereken 9 değerini bulabiliriz.
Benzer şekilde, ^ = 0, (/>> 0 için,
- h ^ = {l- (i>) f {x) g {y) + (t> hu {x, y)
ve korelasyon katsayısı p tarafından verilir.
- P = (t> Pu ^
0 ile pc / arasında istenen herhangi bir korelasyon için, gerekli (/) değerini [0, 1] ‘de bulabiliriz.
Nelsen (1987) iki örnek sundu:
1. her iki marjinal de Poisson’dur, ancak farklı parametrelere sahiptir, p = —0,5 ve
2. bir marjinal iki terimli (n = 4, p = 0.8) ve diğeri {1, 2,3,4,5} üzerinde ayrı bir üniform; ve p pozitif.
Mardia’nın tek parametreli ailesini (3.15) kullanmak istersek, h ^ için korelasyon katsayısı p ile verilir.
Pi ve pu- arasında gerekli olan p değerini bulmak için, aşağıdaki kübik denklemde 7’yi bulmalıyız
- [pu- PL) 1 ^ + {pu + Pih ^ – 2p = 0.
Ardından, 7 değerini yerine koyarak olasılık işlevini oluşturabiliriz.
Çok değişkenli normal dağılım
Normal dağılım örnekler
Normal dağılım fonksiyonu
Çok değişkenli olasılık DAĞILIMLARI
Verilerin dağılımı
Normal dağılım parametreleri
Normal dağılım formülü
Teorik dağılımlar
İki değişkenli Poisson dağılımlarının oluşturulması
Griffiths vd. (1979), iki marjinal belirlendiğinde negatif korelasyonlara sahip iki değişkenli Poisson dağılımları oluşturmak için prosedürler verdi. Sırasıyla Ai ve A2 parametrelerine sahip Poisson marjinalleri F ve G için, minimum ve maksimum korelasyon katsayılarını hesapladılar ve tablo haline getirdiler (yani, sırasıyla (3.10) ve (3.11) ile tanımlanan Hi ve Hu korelasyon katsayıları) .
Bernoulli Denemelerinin Toplamları ve Limitleri
İki değişkenli Bernoulli dağılımı
(X, Y) ‘nin Bernoulli kenarlarına sahip olduğunu varsayalım; bu durumda sadece dört olası değeri vardır: 1,1), (1,0), (0,1), (0,0) olasılıkları ile Pn, pio, PoiiPoo ^ marjinal olasılıklar ile verilir.
Pu = PQQ = 0 ve pio = poi = 0 olduğunda sırasıyla -1 ve +1 değerlerini alır. Burada p = 0, X ve Y’nin bağımsız olduğunu gösterir.
İki değişkenli Bernoulli dağılımlarının oluşturulması
Tek değişkenli durumda, iki terimli, negatif iki terimli (geometrik dahil), hipergeometrik ve Poisson dağılımlarının tek değişkenli Bernoulli dağılımından elde edilebildiği iyi bilinmektedir.
Marshall ve Olkin (1985), bu türetme yöntemlerinin (toplamları ve limitleri kullanarak) iki terimli, negatif iki terimli, geometrik, hipergeometrik veya Poisson marjinalleri ile birçok iki değişkenli dağılım elde etmek için iki boyuta genişletilebileceğini gösterdi.
Urn Modellerinden Numune Alma
Pek çok ayrık iki değişkenli dağılım, urn modellerinden örneklenerek oluşturulur. İki tür örnekleme vardır: (i) doğrudan örnekleme ve (ii) ters örnekleme. Ters örnekleme ile, örneklemenin belirli bir türden k kişi gözlemlenene kadar devam ettiğini kastediyoruz. Her iki tür için de örnekleme değiştirilerek veya değiştirilmeden yapılabilir.
Bir popülasyonun üç farklı karakteri olduğunu varsayalım ve popülasyon boyutu N olsun. AT ^, i = 0,1, 2, z karakterine sahip bireylerin sayısı olsun, i = 0,1,2, öyle ki NQ + Ni + N2 = N (alternatif olarak, bir torbada üç farklı renkte N adet top bulunur, Ni i ^^ renktedir (i = 0,1,2) öyle ki No + Ni + N2 = N).
Örnekleme şemalarının çeşitli biçimleriyle popülasyondan (urn) n bireyin (topların) çekildiğini varsayalım ve X ve Y, numunedeki tip 1 karakter sayısını göstersin.
Daha sonra, aşağıda özetlenen çeşitli iki değişkenli dağılımlar oluşturabiliriz:
• Dağıtım (i), tip 1 iki değişkenli iki terimli dağılım olarak da bilinir; bkz. örneğin Kocherlakota ve Kocherlakota (1992) Bölüm 3.3.
• Dağıtım için (ii), örneğin, Kocherlakota ve Kocherlakota (1992) Bölüm 5.2’ye bakınız.
• Dağıtımlar için (iii) – (vi) bkz. Janardan (1972, 1973, 1975, 1976), Janardan ve Patil (1970, 1971, 1972). Ayrıca bkz. Kocherlakota ve Kocherlakota’nın 6. Bölümü (1992).
Kümeleme (k Derecesinin İki Değişkenli Dağılımları)
Son yıllarda, iki terimli, negatif iki adımlı, hipergeometrik, Poisson, logaritmik ve diğer dağılımların birkaç iki değişkenli genellemesi elde edildi. Bunlar genellikle k dereceli iki değişkenli dağılımlar veya iki değişkenli küme dağılımları olarak adlandırılır; bkz. Balakrishnan ve Koutras (2002). İki terimli, negatif iki terimli, hipergeometrik ve negatif hipergeometrik isimlerini taşıdıkları için, ikame içeren ve içermeyen bir torbadan örneklemenin kökenine sahip olmaları şaşırtıcı değildir.
Bir topun 0 sayısını ve /? İ toplarının i, i = 1,2, …, fc sayısını taşıyacağı şekilde fc -h 1 türü topları içeren bir torbayı düşünün.
(i) Değiştirilerek n adet topun çekildiğini varsayalım. X, çekilen toplarda gösterilen sayıların toplamını göstersin ve p ^, i = 1, 2, …, fc, i numaralı bilyenin çekilme olasılığı olsun: YlPi — P ^^ dq = l – bu sıfır taşıyan bir bilyenin çizilme olasılığıdır. Ardından, X bir küme binom dağılımına sahiptir.
(ii) Yukarıdaki örnekleme şeması değiştirilmezse, bir küme hipergeometrik dağılımı ortaya çıkar.
(iii) Yukarıdaki (i) ‘de olduğu gibi, ancak n sabit değilse ve X’in r * ^ sıfırdan önce örneklenen sayıların toplamı olmasına izin veriliyorsa, X’in bir küme negatif iki terimli dağılımı vardır.
(iv) Yukarıdaki (ii) ‘de olduğu gibi, ancak topların kompozisyonları, bir sonraki çekiliş yapılmadan önce örneklenen ile aynı tipte bir top eklenerek her aşamada değiştirilecekse, X, bir Polya dağılımına sahiptir.
k derecesinin iki değişkenli dağılımları
Şimdi bu fikri iki değişkenli duruma genelleyebiliriz. Bir torbanın iki farklı renkte toplar içerdiğini varsayalım (örneğin renk 1 ve renk 2). İ rengindeki toplar 0’dan fc ^, i = 1, 2’ye kadar numaralandırılmıştır. N toplar değiştirilerek çekilir. Pij, i renkli bir topun j, j = 0,1,2, …, ki sayısını taşıma olasılığını göstersin. X ve Y sırasıyla birinci ve ikinci rengin sayılarının toplamını göstersin; daha sonra (X, Y) küme iki değişkenli bir binom dağılımına sahiptir.
Çok değişkenli normal dağılım Çok değişkenli olasılık DAĞILIMLARI Normal dağılım fonksiyonu Normal dağılım formülü Normal dağılım örnekler Normal dağılım parametreleri Teorik dağılımlar Verilerin dağılımı