İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (13) – Bayes Teoremi Olasılık Dağılımları – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma

On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.

Bayes Teoremi Olasılık Dağılımları

Bayes teoremi ve aslında yukarıdaki örnek gibi durumlarda tekrarlanan uygulaması matematiksel tartışmanın ötesindedir. Ancak, Bayes istatistiği tipik olarak teoremdeki miktarlar için nokta olasılıkları yerine olasılık dağılımlarını kullanmayı içerir. Hamilelik örneğinde, önceden gebelik olasılığının tam olarak bilinen bir miktar olduğunu varsaydık.

Ancak, bu 0,15 olasılığının aslında bu kadar kesin olduğuna inanmak mantıksızdır. Örneğin çeşitli web sitelerine üstünkörü bir bakış, bir kadının yaşına, son adet döngüsünün tarihine, doğum kontrol yöntemini kullanmasına vb. Bağlı olarak bu olasılığın geniş bir aralığını ortaya çıkarır. Belki daha da önemlisi, bu faktörler olsa bile. önceden hamile olma olasılığının belirlenmesiyle ilgili olmadığından, bu önceki olasılık hakkındaki bilgimiz muhtemelen mükemmel değildir, çünkü basitçe önceki örneklerden türetilmiştir ve bilinen ve sabit bir nüfus miktarı değildir (tam da bu nedenle farklı kaynaklar bu önceki olasılığın farklı tahminleri yer alır).

Bayesçi bir bakış açısıyla, bu değeri, gerçek değeri hakkındaki önceki belirsizliğimizi yakalayan önceki hamilelik olasılığının bir dağılımıyla değiştirebiliriz. Önceki bir olasılık dağılımının dahil edilmesi, nihayetinde artık tek bir miktar olmayan bir son olasılık üretir; bunun yerine posterior da bir olasılık dağılımı haline gelir. Bu dağılım, kadının hamile olma olasılığı hakkındaki bilgimizle ilgili güncellenmiş bir dağılım sağlamak için pozitif testten gelen bilgileri önceki olasılık dağılımıyla birleştirir.

Genel olarak, Bayes istatistiklerinin amacı, olasılık dağılımına sahip model parametreleri hakkındaki önceki belirsizliği temsil etmek ve bu önceki belirsizliği mevcut verilerle güncelleyerek daha az belirsizlik içeren parametre için bir son olasılık dağılımı oluşturmaktır. Bu bakış açısı, öznel bir olasılık olasılığının belirsizliği temsil ettiğini ve klasik perspektifle çeliştiğini ima eder. Bayes perspektifinden, model parametreleri dahil gerçek değerin belirsiz olduğu herhangi bir miktar, olasılık dağılımları ile temsil edilebilir. Bununla birlikte, klasik perspektiften, olasılık dağılımlarını parametrelere yerleştirmek kabul edilemez, çünkü parametrelerin sabit büyüklükler olduğu varsayılır: Yalnızca veriler rastgeledir ve bu nedenle, olasılık dağılımları yalnızca verileri temsil etmek için kullanılabilir.

Olasılık dağılımları olarak ifade edilen Bayes Teoremi şu şekilde görünür:

f (θ | veri) = f (veri | θ) f (θ), / f (veri)

f (θ | veri), θ parametresinin arka dağılımıdır, f (veri | θ) veriler için örnekleme yoğunluğudur – Likeli-hood fonksiyonu ile orantılıdır, yalnızca onu uygun yapan bir sabitle farklılık gösterir. yoğunluk fonksiyonu — f (θ) parametre için önceki dağılımdır ve f (veri) verilerin marjinal olasılığıdır. Sürekli bir örnek uzay için, bu marjinal olasılık şu şekilde hesaplanır:

f (veri) = f (veri | θ) f (θ) dθ,

θ için numune alanı üzerinden önceki ile çarpılan örnekleme yoğunluğunun integrali. Bu miktar bazen veriler için “marjinal olasılık” olarak adlandırılır ve arka yoğunluğu uygun hale getirmek için normalleştirme sabiti olarak hareket eder (ancak bu marjinal olasılığın önemli bir kullanımı için Raftery 1995’e bakınız). Bu payda, arka yoğunluğu uygun bir yoğunluk haline getirmek için basitçe ölçeklendirdiğinden ve örnekleme yoğunluğu, olasılık fonksiyonuyla orantılı olduğundan, Bayes’in olasılık dağılımları Teoremi genellikle şu şekilde ifade edilir:

Posterior ∝ Olabilirlik × Önceden,

“∝” sembolü “orantılı” anlamına gelir.

Orantılılık

Denklem 3.3’ün gösterdiği gibi, arka yoğunluk, veriler için olasılık fonksiyonu (model parametreleri verildiğinde) ile parametreler için önceki çarpı ile orantılıdır. Önceki dağılım genellikle normalleştirilir ama her zaman değil, böylece parametre için gerçek bir yoğunluk fonksiyonu olur. Olasılık işlevi, önceki bölümde gördüğümüz gibi, kendi başına bir yoğunluk değildir; bunun yerine, yoğunlukların bir ürünüdür ve bu nedenle onu gerçek bir yoğunluk fonksiyonu yapmak için normalleştirme sabitinden yoksundur. Örneğin, ikili oylama verileri için olasılık fonksiyonunun iki terimli özelliklerine karşı Bernoulli’yi düşünün.

İlk olarak, Bernoulli spesifikasyonu benzerlik fonksiyonunu veri veya parametre için gerçek bir yoğunluk fonksiyonu yapmak için kombinasyonel ifadeden yoksundu. İkincisi, olabilirlik fonksiyonunun iki terimli gösterimi gerçek bir yoğunluk fonksiyonu oluştursa da, p parametresi için değil, sadece veriler için gerçek bir yoğunluk oluşturmuştur. Bu nedenle, bir parametrenin önceki dağılımı olabilirlik fonksiyonu ile çarpıldığında, sonuç da uygun bir yoğunluk fonksiyonu değildir. Gerçekte, Denklem 3.3, olasılık fonksiyonunu ve örnekleme yoğunluğu p’yi (veri | θ) eşitlemek için gereken normalleştirme sabitine ek olarak, Denklem 3.2’nin sağ tarafındaki payda tarafından “kapalı” olacaktır.

Neyse ki, yazının geri kalanının da göstereceği gibi, arka yoğunluğun sadece olasılık fonksiyonunun ve öncesinin ürünü ile orantılı olması, Bayes analizinde genellikle bir problem değildir.

Bununla birlikte, orantılılığın gerçekte ne anlama geldiğine dair bir not vardır. Kısaca, eğer a, b ile orantılıysa, o zaman a ve b yalnızca çarpımsal bir sabitle farklılık gösterir. Bu, olasılık dağılımlarına nasıl tercüme edilir? İlk olarak, bir Bayes analizinde, model parametrelerinin rastgele miktarlar olarak kabul edildiğini, halihazırda gözlemlenmiş olan verilerin sabit miktarlar olarak kabul edildiğini unutmamalıyız. Bu görüş, klasik yaklaşımda varsayılana tamamen zıttır.

İkinci olarak, Bölüm 2’den, potansiyel yoğunluk fonksiyonlarının, onları uygun yoğunluk fonksiyonları haline getirmek için genellikle bir normalleştirme sabitine sahip olması gerektiğini hatırlamalıyız, ancak bu normalleştirme sabitinin yalnızca yoğunluğu ölçeklendirme etkisine sahip olduğunu, temelde olmadığını hatırlamamız gerekir. rastgele değişkenin farklı değerlerinin göreceli frekanslarını değiştirin. Bölüm 2’de gördüğümüz gibi, normalleştirme sabiti bazen basitçe gerçek bir sabit bir sayıdır, ancak bazen sabit rastgele değişken (ler) in kendisini içerir.

Genel bir kural olarak, tek değişkenli bir yoğunluğu düşünürken, herhangi bir terim, örneğin Q (ne kadar karmaşık olursa olsun), yoğunluktaki rastgele değişkenden çarpanlarına ayrılabilir, böylece rastgele değişkeni içeren tüm terim (ler) basitçe katlardır. Q’nun değeri ilgisiz bir orantılılık sabiti olarak kabul edilebilir ve sonuçları etkilemeden yoğunluktan elimine edilebilir.

Teoride, bu kural oldukça basittir, ancak genellikle iki temel nedenden dolayı uygulanması zordur. İlk olarak, bir terimin dikkate alınamayacağını görmek bazen zordur. Örneğin, θ için aşağıdaki işlevi düşünün:

f (θ) = e − θ + Q.

Bayes Teoremi Olasılık Dağılımları İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (13) – Bayes Teoremi Olasılık Dağılımları – İstatistik Nedir – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma numune alanı üzerinden önceki ile çarpılan örnekleme Olasılık dağılımları olarak ifade edilen Bayes Teoremi Orantılılık veriler için olasılık fonksiyonu

İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (13) – Bayes Teoremi Olasılık Dağılımları – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma