İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (17) – Gama öncesi / Poisson olabilirlik yaklaşımı – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma —
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Kısa süre önce bir ara sınava girmiş 30 öğrencilik bir sınıfımız olduğunu ve ortalama notun x ̄ = 75 olduğunu ve standart sapma σ = 10 olduğunu varsayalım.
Şimdilik varyansın bilindiğini varsaydık, dolayısıyla, s yerine σ kullanımı. Dersi dönemden sonra tekrar tekrar öğrettik ve geçmiş test araçları bize genel ortalama μ 70 verdi, ancak sınıf ortalamaları sınıftan sınıfa değişti ve bize sınıf ortalamaları için standart bir sapma verdi. Τ = 5. Yani τ, sınıfımızın ne kadar değiştiğini yansıtır ve bireysel test puanlarının değişkenliğini doğrudan yansıtmaz. Bunu birazdan daha derinlemesine tartışacağız.
Nihayetinde hedefimiz, yeni test notu verileriyle gözlemlenemeyen popülasyon ortalama test puanı olan μ bilgimizi güncellemektir. Başka bir deyişle, f (μ | x) bulmak istiyoruz. Bayes Teoremi bize şunu söyler:
f (μ | X) ∝ f (X | μ) f (μ),
Burada f (X | μ) mevcut veriler için olabilirlik fonksiyonudur ve f (μ) test ortalamasının öncüsüdür. (Şu anda, gösterimden σ2’yi çıkarıyorum). Mevcut test puanlarının normal olarak μ ve varyans σ2’ye eşit bir ortalamayla dağıtıldığını varsayarsak, X için olasılık fonksiyonumuz:
f (X | μ) ∝ L (μ | X) = 1 (xi − μ) 2
Dahası, önceki test sonuçlarımız bize genel bir ortalama 70 sağladı, ancak sınıf anlamlarının sömestre göre değiştiğini (bize τ = 5 verir) göz önüne alındığında, μ’nin gerçek değeri hakkında emin değiliz. Dolayısıyla, μ için önceki dağılımımız:
f (μ) = √2πτ2exp = (μ − M) 2 / 2τ2
burada bu ifadede, μ rastgele değişkendir, M önceki ortalama (= 70) ve τ2 (= 25), M’nin etrafındaki μ varyasyonunu yansıtır.
n 1 (xi − μ) 2 i = 1 √2πσ2 exp – 2σ2.
Posteriorumuz, olasılığın ve önceliğin ürünüdür ve bize şunu verir:
f (μ | X) ∝ √τ2σ2 exp = (μ − M) 2 −ni = 1 (xi −μ) 2 / 2τ2 + 2σ2
Bu posterior, μ için normal bir dağılım olarak yeniden ifade edilebilir, ancak bunu görmek için biraz cebir gerekir. Birincisi, üstel dışındaki terimler sabitleri μ’ye göre basitçe normalleştirdiğinden, onları bırakabilir ve üstel fonksiyonun içindeki terimlerle çalışabiliriz. İkinci olarak, ikinci dereceden bileşenleri ve toplamları genişletelim. Basitlik uğruna, bu ifadede üstel işlevi geçici olarak bırakıyorum:
(−1/2) (μ 2 – 2 μ M + M 2 x 2 – 2 n x ̄ μ + n μ 2 / τ2 + σ2)
Bu ifadeyi kullanarak, μ içermeyen herhangi bir terim orantılılık sabiti olarak görülebilir, üsden çarpanlarına ayrılabilir ve çıkarılabilir (ea + b = eaeb olduğunu hatırlayın). Geri kalan terimler için ortak paydaları tek tek her bir paydayla çapraz çarparak ve orantılılık sabitlerini bırakarak elde ettikten sonra, elimizde:
(−1/2) (σ2μ2 – 2σ2μM – 2τ2nx ̄μ + τ2nμ2 / σ2τ2)
Buradan μ2 ve μ içeren terimleri birleştirmemiz gerekiyor:
(−1/2) (nτ2 + σ2) μ2 – 2 (σ2M + τ2nx ̄) μ / σ2τ2
Bu fraksiyonun payını ve paydasını μ2’nin önündeki (nτ2 + σ2) ile bölersek: Son olarak, tek yapmamız gereken kareyi μ cinsinden tamamlamak ve kalan sabitleri atmaktır:
Bu sonuç, güncellenmiş μ’mizin normal olarak ortalama (σ2M + τ2nx ̄) / (nτ2 + σ2) ve varyans (σ2τ2) / (nτ2 + σ2) ile dağıldığını göstermektedir. Arka ortalamanın, önceki ortalamanın ve örnek ortalamanın ağırlıklı bir kombinasyonu olduğuna dikkat edin. Önceki ortalama, numunedeki test puanlarının bilinen varyansı, σ2 ile çarpılırken, örnek ortalama x ̄, n ve önceki varyans τ2 ile çarpılır.
Bu, ilk olarak, örnek ortalamanın önceki ortalamadan daha fazla ağırlığa sahip olma eğiliminde olacağını (n katından dolayı), ama aynı zamanda önceki ve örnek varyanslarının, araçların ağırlığını etkilediğini gösterir. Örnek varyansı büyükse, önceki ortalamanın son dönemde önemli bir ağırlığı vardır; önceki varyans büyükse, örnek ortalamasının arka tarafta önemli bir ağırlığı vardır. İki miktar eşitse (σ2 = τ2), o zaman hesaplama (M + nx ̄) / (n + 1) ‘e düşer, bu da önceki ortalamanın sadece 1 / (n + 1) ağırlığına sahip olacağı anlamına gelir. arka. Bu özel örnekte, arka ortalamamız şöyle olacaktır:
(100 × 70) + (25 × 30 × 75) / (30 × 25 + 100) = 74,4.
Bu nedenle, sonucumuz, örnek verilerden öncekinden daha fazla etkilenir. Akılda tutulması gereken ancak kolayca unutulabilecek bir şey, güncellenmiş varyans parametremizin (20’dir – bu nedenle standart sapma 4,47’dir) μ hakkındaki belirsizliğimizi yansıtmasıdır.
Bu tahmin hem önceki varyanstan hem de örnek varyansından daha küçüktür ve τ2’ye σ2’den çok daha yakındır. Neden? Yine, bu miktar μ’nin ne kadar değiştiğini (veya başka bir deyişle, μ’nin gerçek değerini, M’yi bilmekte ne kadar belirsizliğe sahip olduğumuzu) ve belirli bir örnek hakkında ne kadar bildiğimizi yansıtır.
Bu nedenle, örneklemin standart sapmasının 10 olması, özellikle örnek ortalamasının önceki ortalamadan çok farklı olmadığı göz önüne alındığında, μ cinsinden belirsizlikle ilgili fikrimizi değiştirmede büyük bir rol oynamaz. Başka bir deyişle, örnek ortalamamız, önceki ortalama μ değerimize yeterince yakındır, böylece μ’nin M etrafındaki varyansının olduğundan daha büyük olması gerektiğine ikna olmadık. Gerçekte, veriler bizi önceki varyansımızın aslında daha küçük olması gerektiğine ikna eder, çünkü mevcut örneklem ortalaması, τ için önceki değerimizin ima ettiği M civarındaki aralık içindedir.
Normal Dağılım Örneğinin Genişletilmesi
Σ2 varyansının bilindiği düşünülen önceki örneğin doğal uzantısı, varyansın bilinmediği daha gerçekçi durumu dikkate almaktır. Nihayetinde önceki örnekte, μ miktarıyla – genel ortalama test puanıyla ilgilendiğimizi hatırlayın. Önceki veriler bize μ tahmini vermişti, ancak yine de değeri konusunda kararsızdık ve bu nedenle belirsizliğimizi μ cinsinden temsil etmek için τ kullandık. Σ2’nin bilinen bir miktar olduğunu düşündük (10). Gerçekte, tipik olarak σ2’yi μ bildiğimizden daha fazla bilmiyoruz ve bu nedenle yeni bilgilerle güncellememiz gereken iki miktar ilgi alanımız var. Μ ve σ2 için tam bir olasılık modeli şöyle görünür:
f(μ,σ2|x) ∝ f(x|μ,σ2)f(μ,σ2).
Bu model yukarıdaki örnektekine benzer, ancak şimdi σ2’nin de bilinmeyen bir miktar olduğunu, önceki dağıtıma dahil ederek açıkça belirttik.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi akademikodevcim@gmail.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Gama öncesi / Poisson olabilirlik yaklaşımı İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (17) – Gama öncesi / Poisson olabilirlik yaklaşımı – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma — Normal Dağılım Örneğinin Genişletilmesi test notu verileri varyansın bilindiğini varsaydık